发布时间 : 星期四 文章论积分学中的微元法思想及其应用更新完毕开始阅读4df8dc32caaedd3383c4d3ca
因为f(x)是连续的,所以：当?x?0时,有??x,从而有f(?)?f(x)也就是：
?S?f(x)?0,故?S?f(x)?x?0,(?x?0),问题得证. ?x2.3 微元法的解题步骤
设有一个函数f(x) , 在区间[a,b]上连续，所求量S可以表示为:S?F(b)?F(a) ，然后进行以下三步:
第一步：取dx , 并确定其定义域[a,b];
第二步：将区间[a,b]微分成无数个小区间, 取其中任一个小区间
[x,x?dx], 对于这个小区间所对应的小矩形?S能近似地表示为f(x)与dx的乘积即f(x)dx,f(x)dx即为所求面积S的微元并记作dS, 所以
?S?dS?f(x)dx
第三步：在区间[a,b]上积分, 得到S??af(x)dx?F(b)?F(a) 其中F(x)`?f(x)即f(x)是F(x)的导数。S??f(x)dx?F(b)?F(a)既是我
abb们以后要学习的牛顿——莱布尼茨公式。
例1 求二次抛物线y?x2与区间[0,2]所围的面积.
解：1.因y?x2在[0,2]上连续,所以f(x)在[0,2]可积.对[0,2]进行n等分,记其分割为T??x0,x1,...,xn?,取?i?为区间?i?[端点，?x?，i?1,2,...,n,。
2. ?S=limf(?i)?x
T??ini?2i,]的右nn2n3.
S???S?lim?f(?i)?x??x2dx?i?1T??i?10nn28. 3
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3、几何学中微元法思想及其应用
3.1定积分中平面图形面积微元法思想及几何应用
3.1.1 微元法求平面图形面积
由曲线y?f(x)，直线x=a, x=b及x轴围成的平而图形的面积S.
在[a,b]上任取长为dx小区间[x,x?dx]，该区间小曲边梯形可近似表示为以f (x)的长度为高以dx为底的乘积，从而面积微元素为dS=f(x)dx, 因此所求的面积为: S??af(x)dx
设平面图形由连续曲线
y?f1(x),y?f2(x)及直线x=a，
y?f2(x) by?f1(x) x=b所围成，并且
f1(x)?f2(x)
x x?dx
如右图所示，求所围平面图形的面积。
取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]，在[a,b]上任取一个小区间[x,x?dx]。由于在[x,x?dx]上f1(x),f2(x)变化很小，故与之对应的小矩形面积?S可以以dx为底，f1(x)?f2(x)为高的小矩形面积来近似替代：
?S?[f1(x)?f2(x)]dx 则平面图形面积的微元为
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dS=[f1(x)?f2(x)]dx 从而所求平面图像的面积为
S??a[f1(x)?f2(x)]dx 例1 计算两条抛物线y?x2与x?y2所围图形的面积。
解 两条抛物线所围成图形如右图，两函数方程联立，解方程组： y?x2 x?y2
得交点（0,0），（1,1）
取x为积分变量，变化区间[0,1]，于是有：
S=?(x?x2)dx
01by?x (1,1) y?x2 22x3 =[x?]33310
=
例2 计算由抛物线y2?2x与y?x?4所围成的平
面图形的面积S 。 解 解方程组： y?2x
213y2?2x （8,4） y?x?4 y?x?4
得两曲线的交点（2，-2），（8,4）。
（2，-2） 14
取y为积分变量，它的变化区间为[?2,4]，于是有：
y2 S??(y?4?)dy?18
?2243.1.2 微元法求立体体积
（1）切面面积已知的几何体体积
设一几何体位于过点x=a, x=b且夹在x轴的两个面之间， x轴的平面与立体相交的切面面积为已知的连续函数S（x），求此几何体的体积。
令x为积分变量，它的变化区间为[a，b]，与此几何体体积相关的是切面面积函数S（x）。在[a，b]上任一小区间[x,x+dx]的小体积?V近似等于截面积为S（x）乘以宽为dx的体积，即
?V?S(x)dx 得所求立体的体积微元 dV= S(x)dx 于是所求立体的体积
V??S(x)dx……………………………..(1)
aba x x?dx b
例1 计算以半径R的圆为底，以平行于底且长度为该圆半径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。
解 取底圆直径所在直线为x轴，以底圆中心为坐标原点，过原点垂直于x轴的直线选为y轴，则底圆方程为
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