发布时间 : 星期六 文章论积分学中的微元法思想及其应用更新完毕开始阅读4df8dc32caaedd3383c4d3ca
累加求和便得到图形的面积S值。这种累加是通过积分来实现的，即
S??f(x)dx
a b此求面积S的问题可用定积分来计算应具有的两个特点：1.区间的可加性，此条件是显然的；2.表达出小矩形面积?S，即
?S?f(x)?x???x （2.1）
对于其中的f(x)?x是很好表达出的既是“长乘宽”。但对于??x却是很难表示出，其实??x即为?x高阶的无穷小量，故此项??x就可以忽略舍去，所以?S也就可以表示为：
dS?f(x)dx （2.2）
其中的dx既是?x,dS则称为面积S的面积微元，简称微元。所以用定积分求面积问题其关键在于求出面积微元即可。
设f(x)在[a,b]是连续的函数，作它的上限可变的积分表达式：
U(x)??f(t)dt （2.3）
ax是f(x)的一个原函数，即dU(x)?f(x)dx.于是，
?baf(x)dx??dU?U （2.4）
ab这表明连续函数f(x)的定积分就是（2.1）的微分的定积分. 由理论依据（2.2）可知，所求总量A就是其微分dU(x)?f(x)dx从
a到b的无限累加得U??f(x)dx，这种取微元f(x)dx计算积分的方法
ab称为微元法.
如求在公路上做非匀速行驶的汽车位移的时候，去任意时间段从
t0到t1内，在[t0，t1]内任取一时刻t，去时间增量?t，当?t区非常小
时，即?t趋于0时，汽车的运动可视为匀速运动，即汽车在时间段[t，
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t+?t]内作匀速运动，速度用t时刻的速度代替为v(t)，其运行的路程
即可表达为：
dS?v(t)?t?v(t)dt
dS?v(t)dt即为路程微元，对所以的dS进行累加求和，得：
S??v(t)dt
T0 T1运用这种微元法思想，同理还有求出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这样我们就可以试图求出生活中许多实际问题，且这种方法方便，有效，可行。
微元法的理论
在理解微元法理论之前我们先来了解一下定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上是有界,若[a,b]对任意分
a?x0?x1?x2?...?xn?b,令任取?xi?xi?xi?1,只要??max{?x}?0i1?i?n时,?f(?i)?xi?定值A,则极限A为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,
i?1n记作?af(x)dx,即?af(x)dx?lim?f(?i)?xi,此时称f(x)在[a,b]上可积.
??0i?1bbn计算曲边梯形面积的具体步骤: 1）分割
在区间[a,b]中任意插入n-1个分点, a?x0?x1?x2?...?xn?b,用直线x?xi将曲边梯形分成n个小曲边梯形; 2）近似替代
在第i个小区间上取?i?[xi?1,xi],以[xi?1,xi]为宽,以f(?i)为长的小
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矩形,则小矩形面积为f(?i)?xi，用f(?i)?xi来近似替代相应小不规则梯形面积?Ai,即有：?Ai?f(?i)?xi(?xi?xi?xi?1,i?1,2,...,n). 3）求和
A???Ai??f(?i)?xi
i?1i?1nn4）取极限
令??max{?xi},则有:
1?i?nA?lim?f(?i)?xi
??0i?1n从上面定积分的定义可以看出，如果要求定积分使用以上步骤：分割、近似替代、求和、去极限，来求工作量太大且较为麻烦，对于生活中大多数的定积分问题我们通常使用微元法来求其表达式，这样问题就变得极其简单了而微元法则是通过定积分的定义演变过来的的。. 2.2 微元法的使用条件
对于使用定积分求解问题S应具有以下条件：
（1）由连续函数f(x)和直线x=a，x=b及x轴所围成的图形是确定的，即S是确定的；
（2）S在区间[a,b]上具有可累加性, 也就是说如果a （3）S具有单调性，即若在[a,b]上f(x)?g(x),则S在[a,b]上由f(x)所确定的量不大于S在[a,b]上由g(x)所确定的量； 10 在一般情况下,问题的变量都是非均匀变化的,但当把变化过程微分，即在变化的一瞬间,变量还没有来得及变化时，此时在微小的局部我们可以看做变量是均匀变化的,这样额话就可以用 dS?f(x)dx近似代替?S,但要求误差是?x的高阶无穷,即微分的非常非常细小，即上述（3）的?S?f(x)?x?0(?x)=0成立.可是对于一些特殊问题,通过微分得到的dS可能是不正确的,所以使用微元法应特别注意检验 ?S?f(x)?x是否为?x的高阶无穷小量便是一件很必要的过程,当然这 个过程也不是很简单就能办到的,这就需要对?S?f(x)?x的合理性判断更加小心.对于此问题进行简单讨论： 在任一小区间?x,x??x???a,b?,若能够把所求量S的微分?S近似表示成关于?x的表达式： ?S?f(x)?x 其中f为某一连续函数,而当?x?0时, ?S?f(x)?x?0(?x),这样只要将定积分?af(x)dx计算出来，即为所求S的值.下面需要说明一下当 ?x?0时，就可以得到?S?f(x)?x?0(?x)，因为知道这个问题可以 b更好的懂得微元法的思想。下面证明：当 ?S?f(x)?x?0(?x) ?x?0时有 证：因为S(x)??af(x)，所以：S(x)??af(x)dx 再根据积分第一中值定理可得: ?S??x??xxxxf(x)dx?f????x 其中?是介于x与x??x之间的常量,则： ?S?f(x)?X?f(?)?f(x) ?X 11