发布时间 : 星期六 文章论积分学中的微元法思想及其应用更新完毕开始阅读4df8dc32caaedd3383c4d3ca
号，运用分析学的方法引进了微积分概念，得出运算法则的，使得微积分更具有可读性和运用性。而牛顿在微积分的研究上更多地结合了物理学，从理论上看牛顿的研究更加先进，但莱布尼茨所采用的表达方式及运算符号更加简洁，方便，从而使得微积分更容易被读者理解和接受。
尽管牛顿与莱布尼茨各自都创立了微积分且较为完整，但在某些方便仍存在缺点，如对于无穷小量的说明没有解释清楚，甚至说是混乱，这也使得起初的微积分理论被很多数学家质疑和批判，这也使得第二次数学危机的产生。
直到19世纪早期，科学家对微积分的基础工作重新研究并使其根基完善，其中法国科学家柯西就是对微积分研究的一个代表，他建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的完善与补充，最终运用极限理论来巩固了微积分这座大厦的根基，才使微积分进一步的发展开来。微积分在发展的过程中与数学的其他的分支结合交融，形成了一个庞大的数学学科。
1.2微积分的现代发展
由于19世纪科学家已经将微积分这座大厦的根基巩固了，所以随着后来时代的发展，微积分也得到了不断地发展与完善，下面将举例说明微积分得到不断地发展与完善。
法国数学家柯西在原有微积分基础上进行进一步完善了微积分，他的极数理论使得微积分的根基得到了巩固，而德国数学家黎曼又将
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柯西的积分理论进行了补充和扩展，后来法国数学家拉格朗日引如了测度理论，同时黎曼积分也得到扩充。像著名的狄利克雷函数在黎曼积分下不可积，而在拉格朗日积分下便可积。
前苏联数学家所伯列夫给出了广义函数及广义导数的理论，从而他也证明了偏微分方程解的存在性和唯一性定理。而偏微分方程解的存在性和唯一性这样定理的成功证明使得微分方程得到了空前的补充与完善，更具意义的是，它把现有的数学工具如泛函分析等应用到微分方程里面成为了可能，即而微分方程理论得到了空前的发展。
随着时间的进行只局限于研究欧式空间下的微积分已经满足不了数学本身发展和解决问题的需要，这也促使打破欧式空间下的微积分研究的局限，把欧式空间下的微积分的研究拓展的一般的微积分的研究，即是微分流形上的研究。对于微分流形上的微积分的研究，外微分式有着重要的地位，从而外微分式的积分和微分流形上的Stokes公式产生了。
从微积分的发展可以看出，人对事物的认识是从表象到本质的认识，继而产生抽象的认识。而人们对事物的认识是具有时代性的，不同的时代对事物有着不同的认识，因为科学是不断在发展的，人们对事物的认识也是在不断地深入，不断地完善和全面。人类对事物的认识和对知识的渴望是没有终点的。
1.3中国古代数学对微积分创立的贡献
对于微积分的重要组成部分极限概念和求积的无限小方法的研究古代中国丝毫不落后于西方，甚至在西方之前中国就已经对微积分
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开始研究了。公元前7世纪在老子和庄子哲学思想和著作中就已经有无限可分性和极限思想的理论；到了公元前4世纪在《墨经》中已经出现了较为成熟的无穷大（最大无外），无穷，有穷，无限小（最小无内）的定义以及瞬时，极限等概念。魏晋南北朝数学家刘徽根据自己开创的割圆术求圆面积，已经将圆周率的计算精确到小数点四位，他的极限理论和无穷小方法已经在当时世界是最先进的，而这种微积分思想在17世纪初的西方国家才开始初步的出现和发展。
这种极限理论和无穷小方法理论的研究在古代中国不仅仅只有刘徽在研究，公元5世纪的祖恒在求球的体积时就已经用到了极限理论和无穷小方法。而对于高阶的等差级数求和问题在古代中国的北宋时期就已经有了研究且得到了较为成熟的发展和运用，其中代表人物是沈括，他创立的“隙积术”，“会圆术”，“棋局都数术”等数学方法就可以体现到当时对高阶等差级数求和理论的深入研究。到了南宋秦九韶的《数书九章》的问世具有划时代意义，其中的增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解即大衍求一术的方法更是闻名世界。在十四世纪前后可以说是中国古代数学发展的一个高峰，有被称为贾宪三角形的开方作法本源图， 组合数学，大衍求一术，招差术（高次差内差法），大衍总数术（一次同余式组解法），勾股数学，四元术（四元高次方程组解法），垛积术（高阶等差级数求和），珠算，天元术（数字高次方程一般解法），正负开方术，弧矢割圆术，增乘开方法，计算技术改革等数学理论在当时的中国乃至世纪都是非常著名的，这也使得古代数学在世纪有了举足轻重的地位。总体来说古代中国的微积
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分理论比西方早了500多年，中国古代数学家出色的完成了创立微积分的前两个阶段即极限概念和求积的无限小方法，也是最关键的阶段，然而对于最后一个阶段积分与微分的互逆关系的理论却由于中国元朝时代的体制而导致了无法圆满的完成这一理论，元朝的八股取士制度在学术发展上产生的极大的阻碍，尤其是数学的研究，古代的中国已经无限的接近微积分理论的完成，可就在微积分创立的关键时刻这一理论被阻碍了，从而导致了微积分发展的停滞，最后使得在微积分方面的研究落伍了。
2、微元法的基本思想
2.1微元法的概念及理论
微元法的概念
从定积分的角度来看，其主要思想是：在微观条件下，对于曲线，曲顶和不均匀物体经过无穷次得微分之后在微小部分都可以看做是直线，平面和均匀的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”的思想.
从宏观的角度，对于求y=f（x）在[a, b]上与x轴所围的面积S时，如图2.1所示，在区间[a, b]上任取一点x，取宽度为?x，当?x很小时，可以认为在区间[x,?x]上f（x）是一条直线，于是有这个小矩形的面积可表示为：
dS?f(x)?x?f(x)dx
a
y?f(x)?x x
b
图2.1 微元法的意义
此时把dS?
。把所以的小矩形面积f(x)dx称作为“面积微元”
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dS全部