发布时间 : 星期日 文章第7讲 多元函数微分学及其应用II更新完毕开始阅读4d9e95d6c1c708a1284a44ff
x?z?0,y??1，或 x?z??22,y?0,
或 x??当k?1322,z??22,y?0,或 x??z?13k9k2?12,y??13k，
时，解为
x?z??22,y?0, 或 x??2212,z??22,y?0,
又f为有界闭区域x2?y2?z2?1,z?0上的连续函数，所以最大最小值一定存在，因此， 当k?0时，其边界上函数值为零，从而最大值为与最小值仍然是
12，最小值为?1212；当k?0时，其最大值
与?12，因此，所求的最大最小值与?12。
例52（武汉大学2000）求函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在ax?by?cz?1下的最小值。 解 令L(x,y,z,?)?x2?y2?z2??(ax?by?cz?1)，则
Lx?2x??a,Ly?2y??b,Lz?2z??c,L??ax?by?cz?1，
令Lx?Ly?Lz?L??0得唯一解
a?x?,222?a?b?c?b?y?, ?222a?b?c?c?z?,?222a?b?c?显然f有最小值，而稳定点唯一，故该点即为最小值点，因此最小值为
fmin?(aa?b?c222)?(2ba?b?c2222)?(22ca?b?c2222)2?1a?b?c222。
例53（复旦大学1999）已知u?ax?byx?y?z?1下的最小值。
?cz，其中a?0,b?0,c?0。求在条件
2解 Lagrange乘法函数为L?ax?by数，并令其等于零得
?Lx??Ly??Lz?L??22?cz??(x?y?z?1)，求L的所有一阶偏导
?2ax???0,?2by???0,?2cz???0,?x?y?z?1?0,caab?bc?ca14
解之得
x?
bcab?bc?ca,y?,z?abab?bc?ca,
显然f存在最小值，而稳定点唯一，故该点即为最小值点，因此最小值为
ab?bc?caab?bc?caab?bc?caab?bc?ca或 把条件x?y?z?1看作隐函数z?z(x,y)，而目标函数看作是u与z的复合，记为
umin?a(bc)?b(2ca)?c(2ab)2?abc。
F(x,y)，因此可用二元函数极值充分条件来判断。
事实上，
zx??1,zy??1,
Fy?2by?2cz, Fxy??2c，
2Fx?2ax?2cz?zx?2ax?2cz,Fxx?2a?2c,2Fyy?2b?2c,FxxFyy?(Fxy)?4(a?c)(b?c)?4c?0,Fxx?0，
所以，稳定点为极小值点，显然u没有最大值，故该点必为最小值点，其余同上。
例54（中国科学院2001）设V是由椭球面所围成的区域的体积，求V的最小值。
解 椭球面上任一点的法向量为(xa2xa22?yb22?zc22?1的切平面和三个坐标平面
xa2,yb2,zc2)，因此过该点的切平面方程为
zc2(X?x)?yb2(Y?y)?(Z?z)?0，
222即
xa2abcX?2Y?2Z?1，它与三个坐标轴的交点分别为，因此，切平面与坐,,xyzbcyz标平面所围成的四面体的体积为V?条件
xa22abc6xyz222，于是问题转化为：求函数f(x,y,z)?xyz在
?yb22?zc22?1下的最大值。为此，构造Lagrange乘法函数
L?xyz??(xa22?yb22?zc22?1)，
令其所有一阶偏导数等于零得
2?x?yz??0,2?a??zx?2?y?0,2??b ?2?z?xy??0,2?c?222xyz??2?2?1?0,2?bc?a解之得把组解：
x??
33a,y??3315
b,z??33c，
根据计算可知f(x,y,x)的最大值为fmax?(Vmin?abc6fmax22332)abc?339abc，由此可得
?32abc。
思考题16（北京航空航天大学2000）在曲面x2?y2?z2?1上求点P0(x0,y0,z0)，且
x0,y0,z0?0，使该点的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
思考题17（合肥工业大学）试证：曲面xyz?a2上任一点处的切平面与三坐标轴所围成的立体的体积为定植。
4过该点的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。
思考题18（复旦大学1999）在曲面x?y?22z2?1(x?0,y?0,z?0)上求一点，使
思考题19（华东理工大学）证明：曲面x?在坐标轴上的截距之和为定值。
思考题20（中国科技大学）在椭球
xa22y?zc22z?a(a?0)上任一点的切平面
?yb22??1的内接长方体中，求体积最大的一
个。
提示：根据对称性，秩序考虑长方体在第一象限部分的体积即可。 4 不等式的证明
例55（武汉大学）证明：t?1，s?0时，有
sts?tlnt?t?e。
证 ??s,t??tlnt?t?es?ts．?s,t??D???s,t?ss?0,t?1?，则当t?1时，
??s,t??e?t ?s??0得t?es．即??s,t?的最值只能在t?es上取得，且 令?s??s,es??eslne?e?e?es?0 （1）
ssss??s,t??es?t?0，0?s?lnt，??s,t??es?t?0，s?lnt，又?s单调下降；?s单调上升；
因此，??s,t?在s?lnt上取最小值，由（1）立得命题为真．
例56（厦门大学2002）证明不等式：e?xlnx?x?xy?0(x?1,y?0)。
y证 记f(x,y)?e?xlnx?x?xy，D??(x,y)x?1,y?0?，则f(x,y)在D上连续
y可微，因此只需证：f(x,y)在D上的最小值等于零即可。
y事实上，fx?lnx?y,fy?e?x，令fx?fy?0得稳定点为x?e,y?0。因此，
y若在D内存在最小值，则最小值必落在曲线x?e,y?0上，而
f(e,y)?e?e?y?e?yeyyyyyyy?0，
所以在D内f(x,y)?0。又在D的边界上，除f(1,0)?0外，均有f(x,y)?0，从而有
e?xlnx?x?xy?0(x?1,y?0)。
例57（吉林大学）求证：f?x,y??yxy?1?x??e?1，0?x?1，0?y???．
证 f在区域边界x?0，x?1及y?0上均为0，而其内部有f?x,y??0，故最大值在内部达到，又
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fx?x,y??yxyy?1?y?xy?x?；
fy?x,y??x?1?x??1?ylnx?．
令fx?fy?0，并注意0?x?1，y?0得
?y?1?x?x,??1?ylnx?0,xy?e?1?1，
此表明最大值点就满足上两式，然而在上式所确定的点上，
f?x,y??yxy?1?x??xe?e?1，
故f?x,y??e?1，0?x?1，0?y???．
例58（清华大学）求x?0，y?0，z?0时，函数
f?x,y,z??lnx?2lny?3lnz
在球面x2?y2?z2?6r2上的极大值，并由此证明：当a,b,c为正实数时，有
?a?b?c?abc?108??．
6??236??L???0得 ?Lz证 设L?lnx?2lny?3lnz???x2?y2?z2?6r2?，令Lxyx?r，y?2r，z?3r．
函数f?x,y,z?在球面x2?y2?z2?6r2位于第一卦限的部分上连续，而在其边界上f为负无穷大，因此f的最大值只能在内部达到，而r,2r,3r是唯一的驻点，故为最大值点，最大值为fr,2r,3r?ln63r6．于是
f?x,y,z??lnxyz?ln63r23???????6?3??x2?y2?z2????， ?ln?63???6???????x2?y2?z2?23?． 即xyz?63???6??22此不等式与r无关，从而它对一切x?0，y?0，z?0成立．令x?a，y?b，
3z2?c，代入即得
?a?b?c?abc?108??．
6??236例59（山东理工大学）设有两个正数x,y之和为定植，求函数f(x,y)?值，并证明：
x?y2nnx?y2nn的极
?(x?y2),nn?Z。 x?y2nn?证 设x?y?a(a?0)，即求函数f(x,y)?设L?
在条件x?y?a下的极值。
x?y2nn??(x?y?a)，令L的所有一阶偏导数等于零得
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