发布时间 : 星期四 文章北航电磁场与电磁波课程习题答案4更新完毕开始阅读4d2c546df5335a8102d2200b
(1)求出它在xoy面上的电位和电场分布。
(2)求出它在空间各点的电位和电场分布，再将z?0代入。看结果与（1）是否一致。 (3)写出在xoy面上，rC??d及rC??d时电位的非0近似表达式。由得出的表达式，可以得出什么结论？
解: (1) 求出在xoy面上的?，E：
由讲义（4-30）式，可知该线电荷在xoy面上产生的电位为
????d?0dz?4??0?dx?y?z?22222??02??d00?d2dz?x?y?z?220??02??0ln[z??2x?y?z?]22
??02??0ln[rC?drC?d](V)由于线电荷的分布相对于xoy平面是对称的，所以可很容易判断，其在xoy平面上产
?生的电场只有rC分量，由于?中已包括了电位随rC变化的关系。故可用E????来求出xoy平面上的电场E。 ?即 E??????irC??0d2??0rCr?d2C2xoyxoy(V/M)
所以，线电荷在xoy平面上产生的电位和电场为：
???02??0ln[rC?drC22?d](V)
??E?irC?0d2??0rCr?d2C2(V/M)
(2) 求在空间各点产生的电位和电场分布，再将z=0代入看与(1)的结果是否一致。 首先在线电荷上z?处取一电荷元?0dz?，它在P点处产生的电位为：
d??2?0dz?4??0[x?y2122?(z?z?)]
P点的总电位为
???ddz??dd???d?0?d4??0x2?y2?(z?z?)2???0x2?y24??ln[(z?z?)??(z?z?)2]d0?d
22
??0z?d?2?y?(z?d)4??lnx0z-d?x2?y2?(z?d)2??0lnz?d?r22C?(z?d)4??(V)0z-d?r22C?(z?d)当z?0时， ???0d?r22C?d4??ln0-d?r22C?d22??04??ln(d?rC?d)2
0r2C2??0?d2)2??ln(d?rC0r(V)C结果与（1）相同。 全空间电场分布为：
E???????01dz?d4??[i?rCi?10r(z?Cr2?(z?d2?C)r2?(z?d)2)?z(12?22)Cr2C?(z?d)rC?(z?d)z?0时，有：
E?(x,y,0)?i??0drC)
2??22(V/M0rCrC?d与（1）结果相同。
（3） 前面已求得，在xoy面上电位表达式为：
22???0rC?d?d2??ln[0r](V)
C当rC??d时，可将?写成 ???0d2??ln[1?(0r)2?dCr](V)
C?dr??1
C(V/M) ln(1?(?
drC)?1(d2drC2）?ln（1?drC）?（?drC)?2rC）????
drC???02??0?drC ? ?2?0d4??0rCQ4??0rC(V)
??其中 Q?2d?0(c)为线电荷所带的总电荷量。
这表明，当rC??d时，电位形式接近位于坐标原点，电量为Q的点电荷产生的电位形式。 当rC??d时，
???02??0ln[rC?drC22?d]??02??0lndrC(1?1?(drC))?2?02??0ln2drC(V)
这个结果表明，当rC??d时，电位形式接近于无限长均匀线电荷的电位形式。 ?c?4-12有一个位于z轴的线电荷系统,电荷分布为:?(r)?????0(z?0)(z?0)(C/M)
其中?0为常数。
① 求它在xoy 面上的电位和电场分布。
② 求它在空间各点的电位和电场分布，再将z=0代入，看结果与（1）是否一致。 解：由电荷分布对xoy面（z?0）的奇对称性可知，?(x,y,0)?0.
由于电力线是由正电荷发出而终止于负电荷上的，因此可知，xoy面上的电场强度
?应有z方向的分量，所以，不能使用?(x,y,0)来求得 E(x,y,0).因此，只能使用直?接积分来求E(x,y,0)。为求xoy面上任意一点P处的电场，我们分别在?0和??0线
?|?|dz?|电荷上±z’处取线元dz1’,dz2’,且使|dz12。则它们在P点产生的电场分别
为
?dE1?i?1?dE2?i?2??0dz124??0(x?y?z?)22(V/M)
??0dz?24??0(x?y?z?)222(V/M)
???其合成场dE?dE1?dE2??0dz?4??0(x?y?z?)222(i?1?i?2)(V/M)
其中 i?1,i?2分别为?z?指向P点的单位矢量方向。 由于i?1?i?2??i?z?2sin? 其中sin???所以dE??i?zz?x?y?z?222
?0z?dz?3(V/M)
2??0(x?y?z?)2?将dE在z?从0到∞进行积分，可得：
222? E???0?dE???0(?i?z)?0z?dz?3
2??0(x?y?z?)2222因为i?z是常矢量，可提到积分号外。所以，上述矢量积分可化为标量积分：