发布时间 : 星期五 文章北航电磁场与电磁波课程习题答案4更新完毕开始阅读4d2c546df5335a8102d2200b
4 ??4-2 由于E????，所以，若已知?则可求E。该结论是否正确？若已知
?(0,0,0)?100V，能否求出E(0,0,0)？
?解：该结论是错误的 ，因为电场E反映了电位函数在空间的变化情况，故只有知道电??位在空间的变化函数?(r)时，才可求出电场E。而只知道某点处的电位值，是无法
?求出电位在空间的变化情况的。正如我们在数学中学到的，如果求函数在某点的导数值，应先对该函数求导，后将坐标值代入。即：
?E(0,0,0)?[???](0,0,0)?[??(?(0,0,0))]
??4-3 由E????，能否根据E分布求出?分布？为什么？
解：根据E分布，求?分布时，还应注意电位参考点的问题。由于静电场是保守场，?所以，由E????，可求出某两点P1P2间的电位差为：
? ?P??P?22?P2P1??E?dS
若选择P1点为零电位参考点，即：?P?0，则空间任一点相对于P1点的电位分布为
1?P2???P2P2??E?dS
???14-4 已知?(r)?2，求E(r)
rs解：
????12????i?rs(?Z?3)?3i E(r)???(r)??i?rsr?rsrsrss(V/M)
4-5 已知在XOY面上有三个点电荷，q1(?a,0)?1c??E(r)
q2(0,a)?2c,q3(a,0)?1c,求：
解：根据点电荷电位公式和场的叠加原理 ?1?q14??q24??0?01rs11rs2, rs1?[(x?a)?y?z]22212
?2??, rs2?[x?(y?a)?z]22212
?3?q34??0?1rs3, rs3?[(x?a)?y?z]22212
?z???1??2??3 ?
?Ez?????z? ?
??Ez??14??0?([ixx?ar3s1?xr3s2?x?ar3s3?(y?y?a?y)?i?(z?z?z)](V/M))?iyz333333rs1rs2rs3rs1rs2rs34-6 为何要引入参考电位？若不引入参考电位会有什么后果？
答：引入参考电位就是为了在系统内引入一个最基本的电位标准点，整个系统内任何一点的电位都是以此为基准的，是相对于此点的电位。如果没有这样一个参考电位，
则整个系统无标准可循，电位分布没有唯一解。
4-7 对于图4-6所示的线电荷环，在下列两种情况下，求其轴线上的电位和电场分布：
（1） ???0（常数） (C/M) (2) ???0cos? (C/M)
解：系统示意图如图4-7-1所示。这是一个已知空间电荷分布，求电位与电场的问题。由于电荷是分布在空间有限域内，所以，我们可以用
??(r)1Q ??dSQ ?CQ4??0rQP来求解。首先看第一种情况 （1）???0 (C/M) 可求得 ??14??0??0rQPCdS?R4??0?2??0R?z220d??2?0R?0R?Z22
(V)下面我们来求电场，我们已经讲过，用电位求电场时必须在知道电位的空间表达式时，由?E????求得的电场才是正确的。下面我们分析一下，此时，
??能否用E????由?求E。 由对称性，我们可以知道，???0 的圆环在z轴上产生的
电场只有z方向上的分量。而上面求得的?又正好给出了电位在z轴上随z的全部变
??化关系，故可使用E????通过?求得z轴上的电场E来。 ?即：E?????i?zR?0z2?0R?z22(V/M)
?
???0 时，z轴上的电位和电场分布为
??2?0?E?i?zR?0R?z22(V)
R?0z(2?0R?z)223(V/M)
下面再来看第二种情况。 （2） ???0cos? 不难求得
R?04??02?(C/M)
???cos?R?z220d??0(V)
这个
荷分布具有相对于yoz平面的奇对称性，所以，整个yoz平面都是零等位面，显然，z轴的电位也应是等于零的。那么，z 轴上的电场呢？只需简单分析一下，便会知道，在x?0的半空间有负电荷分布，在x?0的半空间有正电荷分布，显然，x?0处电场应是指向负x轴负方向的，而前面求得的?只反映了在z轴方向电位保持常数。并未给出电位随x变化的关系，因此，不能再用???E????来由?求E了，那么，如何求z轴上的电场E呢？方法有两种，一种是求出空间任一点出的位函数?，对?求负梯度得到E，进而得到z轴上的电位和电场。另一种方法是，直接求带电园环在z轴上产生的电场。有兴趣的读者，可以练习用第一种方法求解，下面我们采用第二种方法求解。首先在带电圆环P1点处取一微元dS,
?则其在z轴上产生的电场在z处为：
??dE??iPz?ds4??0r2??cos?Rd??iPz24??0r(V/M)
其中，i?Pz为由P1点指向z点的单位矢径。r为P点到z点的距离。
由于z轴上的电场只有?i?x方向的分量，即
?E(0,0,z)?-?ixE
因此，我们只要计算dEx就可以了。由坐标关系可知
dEx???0cos??Rd?4??0(z?R)22?RR?z22?cos?
所以，Ex??2?0dEx??0R223
4?0(z?R)2??E(0,0,z)??i? x2?0R223(V/M)
4?0(z?R)224-8 长为4a的均匀线电荷，弯成正方形后，若电荷分布不变，求该正方形轴线上的电位和
电场分布。 解 ：
设：电荷线密度?0 对于z轴来讲，各段所处的状况相同，所以，各段在P点产生的电位相等，
d?PQ??
?0dl4??0?1rQP??0dl4??0?1a222x?()?z2
根据电位的叠加原理。
a?合?4?2a?2?0dy4??0
a222()?y?z2