发布时间 : 星期二 文章《近世代数》作业参考答案更新完毕开始阅读4c7cda9eba68a98271fe910ef12d2af90342a844
《近世代数》作业参考答案
一．概念解释
1．代数运算：一个集合A?B到集合D的映射叫做一个A?B到D 的代数运算。 2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：
1）G对乘法运算封闭；
2）结合律成立： a(bc)?a(bc)对G中任意三个元a,b,c都成立。 3）对于G的任意两个元a,b来说，方程ax?b和ya?b都在G中有解。 3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A到集合A的映射?下，A的每一个元至少是A中的某一个元的象，则称?为A到A的满射。
5．群的第二定义：设G为非空集合，G有代数运算叫乘法，若：（1）G对乘法封闭；
（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G中任一元在G中都有逆元，则称G对乘法作成群。 6．理想：环R的一个非空子集N叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）a,b?N?a?b?N （2）a?N,r?N?ra?N,ar?N
7．单射：一个集合A到A的映射，?:a?a ，a?A,a?A，叫做一个A到A的单射。
若：a?b?a?b。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R若满足：（1）R至少包含一个不等于零的元。 （2）R有单位元。
（3）R的每一个非零元有一个逆元，则称R为除环。 10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G的一个子群H的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H在G里的指数。 12．环的单位元：设R是一个环，e?R，若对任意的a?R，都有ea?ae?a，则称e是R的单位元。 二．判断题
1．×； 2．×；3． √；4．×；5．√；6．√ ；7．√； 8，√；9．√；10．√；11．×；12．√ 三．证明题
1． 证：G显然非空，又任取A，B?G，则A??1,B??1，于是AB是整数方阵，且AB?A?B??1， 故AB?G，即G对乘法封闭。结合律显然成立，且E是G单位元。
又设A?G，由于A是整数方阵，故A的伴随矩阵A也是整数方阵； 又A??1,故A成一个群。
2．证：设a??，则当m?n时，a映射。又a?a?aword
mnm?nm?1??1??1A??A?，即A也是整数方阵，即G 中每一个元在G中都有逆元，从而证得G 作 A?an，于是映射?：am?m就是G=（a）到整数加群Z的一个一一
?m?n，故?是G到Z的同构映射。即G=（a）与整数加群Z同构。
3．证：?1,?i显然是Z[i]的单位，设x=a+bi是Z[i]中的任意单位，则存在y=c+di?Z[i]使xy=(a+bi)(c+di)=1 而(a+bi)(c+di)=ac-bd+(bc+ad)i 既有：ac-bd=1,ad+bc=0 (1)
222从而 ac?abd?a 又ad= –bc 代入前式有：（(a?b)c?a，即(a?b)|a
22若a=0,则由（1）有bd= –1,只有b=?1,即x??i。
若a?0，则由(a?b)|a得b=0, a=?1,即x=?1,因此证得：Z[i] 的单位元只有?1,?i。 4．证：由题设可列乘法表：
a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a
由此表可知：方阵普通乘法是G的代表运算，a 是G的单位元，又由于对角线位置上的元素相等，故乘法可以交换，且每个元素G中都有逆元，结合率显然成立。故G对方阵普通乘法作成一个交换群。
5．证：设e是群G 的单位元，则e显然满足方程另外设a?G,且a?a，则有aa?aa 即a=e, 即只有e满足方程x?x。 6．证：因为1?2i222?12?122?5为素数，则1?2i（以及?1?2i,2?i,?2?i）是Z[i]的不可约元，且显然有分解：
5?(1?2i)(1?2i) 若设5?a1a2?an(ai不可约） 则
52?a1?a2?an且ai5=ab且a222222?1,ai2?25，这只有n?2，且ai2?5不妨设
?b?5则只能a?b，即5=aa，即5有唯一分解。
?17．证：由乘法表可知，G对所给乘法封闭，e 是单位元，又e?e，a?1?b，b?1?a，即每个元素在G中
都有逆元，因此要证G是一个群，只要再证结合律成立即可。
任取x,y?G，则显然有：e(xy)?x(ey)?xy?x(ye) (xx)x?x(xx)
其次令x,y?{a,b}，且x?y，则由乘法表知：xx?y,yy?x,xy?yx?e，可知结合律成立。 8．证：1）设e1,e2分别是环R的左右单位元，则由此有：e1e2?e2 ，e1e2=e1， 从而e1=e2 ，即它是R的单位元。
2）设e1，e2是R的两个互异的左单位元，则对任意的a?R,a?0，有
e1a?a?e2a 或（e1-e2）a=0，但e1-e2?0，故a是R的一个右零因子。同理，若R有至少两个右单位
元，则R的每一个非零元都是R的左零因子。
?ab??c9． 证：任取A，B?F，且令A????ba??，B????d???d??，显然A?B?F，又当 c??B?0时，实数c,d 不全为零，于是B?c2?d2?0，
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?ac?bdbc?ad?且AB???ad?bcac?bd???F，故F是M（R）的一个子域。
??10．证：显然所给运算是G的一个代数运算，又任取a,b,c?G,则
?1(a?b)?c?(au?1b)?c?(au?1b)u?1c a?(b?c)?a?(bu?1c)?au?1(bu?1c)而G是群。(au?1b)u?1c?au?1(bu?1c) 即(a?b)?c?a?(b?c) 即G对新代数运算结合律成立。又任取
?1?a，即u 是右单位元。 a?G， a?u?auu?1?1?1?1又a?(uau)?au(uau)?u，即uau是a的右逆元。由群的定义知，G对新运算也作成一个群。
11．证：设AB?E，由于R可交换，得：
AB?AB?BA?1，从而A可逆，设A?是A的伴随矩阵，则由R有单位元1可知：
A?A?AA??AE 于是A?1?AA? 故若：AB?E，则：
?A?1A?E ，即BA?E 同理可由BA?E?AB?E，证毕。 ABA?A A?1ABA12．证：不妨设A含有单位元e，任取a1,a2?A，b1,b2?B,r?R，由题设A，B 都是R 的理想，得:
a1b1?a2b2?B a1b1?a2b2?(ea1)b1?(ea2)b2?e(a1b1)?e(a2b2)?e(a1b1?a2b2)?A?B
四．解答题
1．解：?:(a1,a2)?min{a1,a2},a1,a2?A，就是一个A?A到A的一个满射。 2．解1）H不一定是群G的子群，例： G=????1????1m???m?Z?Z为整数域。对矩阵普通乘法作成一个群，而 ?????01????10??11??12??1n??2H=???01??,??01??,??01??,???01????为G的一个非空子集，易知有H?H，但
??????????H不是G的子群，??
?11?
?在H中没有逆元。 ??01?
222）当H有限时，则H是G的子群。任取a,b?H，由于H?H，而ab?H?H
即ab?H即H对乘法运算封闭，即H是G的子群。
3．解：易知R作成一个有单位元的可换环，但不一定作成域，如：当F 为实数域时，方阵
?2A???1?2???0，属于R但A?0，故A在R中没有逆元，从而R不能作成域，但是当F为有理数域时，2??R可以作成域。
4．解：?是X到F的一个映射，但不是一一映射，因为
?10???11???A??,B??00??00??，A，B?X,且A?B，但在?下，?(A)??(B)?0，不是一一映射。 ????5．解： 1）如整数加群G除单位元O外，每个元的阶都无限。
2）如：全体非零有理数对普通乘法作成一个群，满足题设条件，除单位元1的阶是1外，-1的阶是2，而其余各元素的阶都是无限。
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6．解：能作成群，因为数的普通乘法显然是R的代数运算，结合律当然成立，又1是R的单位元，1与-1的逆
1，故R作成群。 a7．解：?1:1?2;2?4;3?6,4?8,5?10
元均为自身，任意R的元a都有逆元
?2:1?0,2?4,3?6,4?8,5?10 则?1，?2是X到Y的两个单射。
8．解：易知整数k,l有相同的奇偶性?存在整数x,y,满足：k?x?y,l?x?y （1） 又Z[i]是有单位元的可换环，所以
G??1?i???(x?yi)(1?i)|x?yi?Z[i]???(x?y)?(x?y)i|x,y?Z? 由（1）知对k?li?Z[i]，有k?li??1?i.??k,l.有相同的奇偶性
又1?Z[i]，但1??1?i?取任m?ni?Z[i]，若m?ni?<1+i>,即m,n 有相反的奇偶性，从而
m?ni?1?(m?1)?ni??1?i?，即m?ni??1?i??1??1?i?，故
Z[i]共有两个元素
?1?i??1?i?,1??1?i?。
9．解：域或其子域有相同的单位元，事实上若F1是F的子域，I是F的单位元，I?是F1的单位元，则任取a?F1，且a?0，由F1是域知a但a,a?1?F1,aa?1?F，且aa?1?I?，
?I，故I??aa?1?I，即F与F1有相同的单位元。
?110．解：设Z为整数集，Z2为偶数集，?1:x?2x， ?2:x?2(x?1)，其中x?Z，则?1，?2就是Z 到
Z2的两个不同的映射。
11．解：G的单位元为e?????1?1??01??10??0?1?23?????? a?a?a??10???10?? ??10?01??????????11??10??10??11?23??????又 b?b?a4??ab??10??01??01??01??对任意的整数n ????????n?11??1n??10???(ab)n????01??01?????01?? 即a 的阶为4，b 的阶为3, ab 的阶为无限。 ??????12．解：不一定
例如：令F为任意数域，又H，N, R分别由以下三种方阵作成的集合：
?000???00a?1? ?000????00a1???00a?2? ?000????a1??0?0?a2a40a3??a5? 其中ai?F a6??很明显对方阵普通加法与乘法R作成环，且N是R的理想，H是N的理想，但是：
?010??000??001????????000??001???000??H 故H不是R的理想。 ?000??000??000???????word