发布时间 : 星期六 文章高考理科数学复习学案 第1讲 坐标系与参数方程(选修4-4)更新完毕开始阅读4a040177bb0d6c85ec3a87c24028915f804d840d
A级 基础通关
π
1．(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(－θ)＝2，曲线C
6的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆． 因为直线l的极坐标方程为ρsin(π
6－θ)＝2，
则直线l过A(4，0)，倾斜角为π
6，
所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB＝π
6
.
如图，连接OB.
因为OA为直径，从而∠OBA＝π
2，
所以AB＝4cos π
6
＝23.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为23.
2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线???x＝2cos θ，??
y＝4sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为 ???x＝1＋tcos α，
??y＝2＋tsin α
(t为参数)． (1)求C和l的直角坐标方程；
C的参数方程为
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率． x2y2
解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
416
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2 α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
4（2cos α＋sin α）又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l
1＋3cos2 α的斜率k＝tan α＝－2.
3．在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为
??x＝3－t，?π??(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin?θ＋3?.
????y＝1＋3t
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．
??x＝3－t，
解：(1)由?消去参数t得3x＋y＝4，
??y＝1＋3t，
所以直线l的普通方程为3x＋y－4＝0.
?π???θ＋由ρ＝4sin3?＝2sin θ＋23cos θ， ?
得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ，即x2＋y2＝23x＋2y. 所以曲线C的直角坐标方程是圆(x－3)2＋(y－1)2＝4. (2)因为原点O到直线l的距离d＝
|－4|（3）＋1
2
2
＝2.
直线l过圆C的圆心(3，1)，所以|MN|＝2r＝4， 1
所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4.
2
4．(2019·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
??x＝m＋2t，?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标??
y＝2t系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝
4
1＋sin2θ
. (1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求的值．
解：(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2
＝4
1＋sin2θ
，
则ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
ρ2
＝x2
＋y2
，ρsin θ＝y代入上式并化简得x2y2
将4＋2
＝1，
x2所以曲线C的直角坐标方程为4＋y2
2
＝1.
由???x＝m＋2t，??y＝2t，
消去参数t得x－2y＝m， 所以直线l的普通方程为x－2y－m＝0.
(2)设P(2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得
??22cos?|2cos θ－2sin θ－m|
?θ＋π??|PQ|＝
??4??－m?
?
3
＝
3
，
由题意知m≠0，
当m＞0时，|PQ|＝|22－m|
min3
＝2，得m＝23＋22；
m
|－22－m|
当m＜0时，|PQ|min＝＝2，得m＝－23－22，所以m＝23
3＋22或m＝－23－22.
5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，3?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
??
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. cos θ
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
??π??1
??S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·sinα－3??＝
2??????π?3?
2?sin?2α－3?－?≤2＋3.
2????
当α＝－
π
时，S取得最大值2＋3. 12
所以△OAB面积的最大值为2＋3.
6．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．