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培养小学生几何直观能力的思考
〔摘 要〕《义务教育数学课程标准》（2011版） 修订时提出了十个 “核心概念” ， 其中新增之一就是要培养学生的几何直观能力。在小学数学中培养学生的几何直观能力， 要先从直观教学开始， 引导学生学会用画图的策略分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、 符号语言进行合情转换， 并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、 形与数之间的转化。 〔关键词〕几何 直观能力 培养 策略 1 几何直观的意义及现状
“几何直观”在《数学课程标准》（2011版） 单独提出， 是一个新增加的核心概念之一， 而且专门进行了阐释： “几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象， 有助于探索解决问题的思路， 预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学， 在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”从这些描述中我们可以看出： 几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式， 既有形象思维的特点， 又有抽象思维的特点。几何直观能力可以把思考的问题图像化， 可以把抽象和逻辑性很强的问题变得在观察和理解的层面上具有方向性和归纳性。关于 “几何直观” ， 由于 《数学课程标准》（实验稿） 只是在 “设计思路” 中提及 “能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考” 。所以教师在教学实践中对学生这方面的能力培养有所忽略， 只是停留在教学经验的层面， 部分老师觉得没什么作用， 可用可不用， 也有部分老师在教学中有时也利用几何直观来处理教学内容， 但只是将其作为获得知识的桥梁，没有把它当作目标来对待，没有有意识地培养学生几何直观的意识和能力。 2 培养小学生几何直观能力的教学策略
2.1 动手操作形成直观。学生在动手动脑的过程中， 往往会迸射出意想不到的思维火花， 学生的思维能力、 创新能力得到了提高，更有利于学生的发展。在小学阶段， 我们常用的手段就是动手操作，动手操作的目的，就是要建立概念的表象。而这一活动在人脑海中形成的表象和图形很相似， 它都有具体的成像。比如加法， 在学生的手中， 就是把两部分合并，或者在一部分的基础上增加， 或者从别的地方移入新的一部分。 “合并” 、 “增加” 、 “移入” 在这里都不是抽象的概念， 而是学生活生生的操作活动。学生理解概念， 正是从这些简单的操作入手，慢慢内化成语言，最后归纳总结形成比较规范严密的定义。 2.2 新知与已有经验相结合发展直观。新课程理念明确强调： “数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
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” 赵海峰老师在 《小数的初步认识》 一课中， 充分利用了小数与日常生活的密切联系，创设了贴近儿童生活实际的情境， 让学生从熟悉的商品价格背景中， 以 “1角” 为突破口， 借助直观的图示去体会分数与小数的内在联系， 顺其自然地激活了分数与小数的联结点， 从而为后续的 “利用分数理解小数” 做充分的准备。这样处理， 是为了充分地尊重学生的起点， 达到生活经验和数学经验的自然链接。
2.3 图文变换形成直观。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来， 使抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质。所以，要做好图形与数学语言之间的变换。在教学中， 可以通过直观图像与数学符号的互相转换， 引导学生逐步学会利用图形描述和分析数学问题。比如， 教学 《鸡兔同笼》 时，可以提
示学生根据自己的假设列出示意图表， 并根据列出的图表分析假设鸡与兔的变化以及产生这种变化的原因， 引导学生根据数量发生的变化及时进行调整， 推算出鸡与兔的只数， 最后进行检验。这一解决问题的过程就涉及直观图与算式的转换， 学生借助直观图，抽象出解题思路：猜想—— —尝试—— —比较—— —调整—— —检验。
2.4 数形结合拓展直观。数形结合的思想方法，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。关键要使学生想到画图、 正确画图、 用图分析和体验画图解决问题的好处。我们用的最多的是画线段图， 通过线段图让学生把复杂的数学问题直观化， 利于学生解决问题， 理解问题， 更容易突破难点。比如陈严老师的 《植树问题》 研究课， 用 “一一对应” 的数学思想统领整个课堂教学。通过三个班植树的活动，引导学生画图说明、 独立思考、 交流讨论、 总结方法， 帮助学生沟通间隔数与所种树的棵树两者之间的关系， 建立一一对应思想， 弄清楚两端都不种、 两端都种、只有一端种这三种情况的联系与区别。
2.5 闭目思考想象直观。直观是手段， 抽象是直观的发展， 直观的目的是为了更好地理解抽象的知识。随着学生年级的升高， 抽象思维能力的增强， 应逐渐减少学生对直观演示的依赖性， 提高学生的抽象思维能力。朱乐平老师执教 《分数中的平均分》 一课， 引出“平均分” 之后， 围绕这一核心概念理解， 设计了一系列具有开放性和挑战性的问题， 从“分图形” 到 “分苹果” 再到 “分硬币” 等， 每个环节设计都把问题抛给学生， 让学生先闭着眼睛想一想， 想好之后再去研究， 去操作， 去表达。遵循了学生的认知规律， 引导学生经历了“具体—— —表象—— —抽象—— —具体” 的认识过程， 重视理性提升， 让学生自主建构，建立数学概念， 真正理解了 “平均分” 的含义。另外， 朱老师还经堂用 “不画图能准确解决这些问题吗？ 画图时要注意什么？ ” 加深学生对应用画图策略价值的直观体验。当然， 在培养小学生几何直观能力的教学中， 要发展学生根据题意用线段图或其他示意图描述题意的能力，发展学生读图、 认图和解释应用的能力等， 从 “画图” 和 “读图”两个方面培养学生几何直观的意识和能力。
1.直观与几何直观
数学家克莱因认为，“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；西方哲学家通常认为，“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家认为，“直观是从感觉到的具体对象背后，发现抽象的能力”。蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。徐利治先生认为，直观就是借助于经验、观察、
测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。从数学、哲学、心理学等视角可以看出，直观一般有两种：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。由此可见，直观是一种感知，是形象思维和抽象思维的中介，是客观世界不同事物的居间联系环节。
2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”换句话说，几何直观就是借助见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。 2.空间观念与几何直观
从研究对象来分析，空间观念不仅涉及“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体”，而且涉及“想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等”，而几何直观是凭借图形对几乎所有的数学研究对象进行思考的能力。可见，几何直观与空间观念有重叠又各有侧重。从思维角度来看，几何直观具有思维的跳跃性，而空间观念具有思维的连贯性。从能力分析角度看，空间观念倾向于即使脱离了背景也能想象出图形的形状、关系的能力，几何直观更强调借助一定的直观背景条件进行整体把握的能力。 3.几何直觉与几何直观
直观与直觉非常相似。所谓直觉，《辞海》的解释是“一般指不经过逻辑推理认识真理的能力”，而《中国大百科全书》的解释是“一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力。直觉是不经过逻辑的、有意识的推理而识别或了解事物的能力”。从哲学认识论的视角看，直觉可以分为经验直觉、知性直觉和理性直觉。几何直觉无须推理就能直接对事物及其关系作出迅速的识别和理解，属于学习者对于数学对象的感性认识，有很大程度上的猜测成分和朦胧的整体把握，不仅有“经验直觉”的成分，而且有“知性直觉”和“理性直觉”的成分。几何直观是学习者建立在针对几何图形长期有效的观察和思考的基础之上，对于数学对象的几何属性（或与几何属性密切相关的一些属性）的整体把握和直接判断的能力，既有相对丰富的经验积累，也有经验基础之上的理性概括和升华，几何直观的“整体把握”往往带有明显的逻辑成分。 4.空间想象能力与几何直观能力
传统的数学教学中，空间想象力指的是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力。麦吉认为，空间想象力包括“在心理上操作、旋转、翻转或逆转形象刺激物的能力”。朱文芳认为“空间想象能力是完成空间认知任务的桥梁，空间思维能力起着决定性的核心作用”。心理学家通常认为，想象以表象为基本材料，但不是表象的简单再现，是指“在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合形成新形象的心理过程”。因此，空间想象能力是指脱离背景也能想象出图形的形状、关系的能力。几何直观是在有背景的条件下进行，
想象是没有背景的；几何中的推理证明始终在利用几何直观，再想象图形。