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《应用随机过程》读书笔记
早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛，紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于点过程、估计理论等理论分支。
在放假期间，我看了《应用随机过程》第六章---鞅的内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平竞争的思想，也就是在竞争中付出与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本概念及其相关性质。
一 定义1 随机过程?Xn,n?0?称为关于?Yn,n?0?的下鞅，如果对
?n?0,Xn时(Y0,?,Yn)的函数，EXn??，并且E(Xn?1|Y0,?,Yn)?Xn，这里
?如果对Xn?max?0,Xn?。我们称过程?Xn,n?0?为关于?Yn,n?0?的上鞅，?n?0,Xn是(Y0,?,Yn)的函数，EXn??，并且E(Xn?1|Y0,?,Yn)?Xn，这里
?Xn?max?0,?Xn?。若?Xn,n?0?兼为关于?Yn,n?0?的下鞅与上鞅，则称
之为关于?Yn,n?0?的鞅。
根据鞅的定义，我们可以直接推出以下命题：
（1） 适应列?Xn,Fn,n?0?是下鞅当且仅当??Xn,Fn,n?0?是上鞅。 （2） 如果?Xn,Fn?，?Yn,Fn?是两个下鞅，a，b是两个正常数，则
?aXn?bYn,Fn?是下鞅。
（3） 如果?Xn,Fn?，?Yn,Fn?是两个下鞅（或上鞅），则
。 ?max(Xn,Yn),Fn?或?min(Xn,Yn),Fn?是下鞅（上鞅）
下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题，设X1,X2?独立同分布，分布函数为P?Xi?1??P?Xi??1??，于是，可以将
Xi(i?1,2,?)看做一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢1元，
12出现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停。令Wn表示第n次赌博后所输（或赢）的总钱数，W0?0，无论如何，只要赢了就停止赌博，从而Wn从赢了之后起就不再变化，于是有P?Wn?1?1|Wn?1??1。假设前n次投出的硬币都出现了反面，按照规定，我们已经输了
1?2?4???2n?1?2n?1（元），即Wn??(2n?1)，假如下一次硬币出现的
是正面，按规定Wn?1?2n?(2n?1)?1，由公平的前提知道
P?Wn?1?1|Wn??(2n?1)??11，P?Wn?1??2n?2n?1|Wn??(2n?1)??，易证22E(Wn?1|Fn)?Wn，这里Fn??(X1,?,Xn)，从而?Wn?是关于?Fn?的鞅。
二 鞅的停时定理
1 （停时）设?Xn,n?0?是一随机变量序列，称随机函数T是关于?Xn,n?0?的停时，如果T在?0,1,2,?,??中取值，而且对每个n?0，
?T?n???(X0,X1,?,Xn)。
2 （鞅停时定理）设M0,M1,M2,?是一个关于?Fn??(X0,X1,?,Xn)?的鞅，T是停时且满足：
（1）P?T????1; （2）E(MT)??；
E(MnI?T?n?)?0； （3）limn??则有 EMT?EM0
1939 年法国概率学家 Lévy 第一次提出鞅，并作了理论的奠基工作。随着K.ito对brown运动的随机积分理论的发展，30年代末至50年代初，Levy和美国概率学家Doob就创立了鞅论，并且由Doob将其发扬光大.1953年，Doob在其名著Stochastic Processes中首次系统地介绍了鞅论及其应用成果，这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日益凸显.
Doob极大不等式
定理 设?Z0,Z1,?,Zn?是一个鞅，Mn?max?Z0,?,Zn?。 （1） 对???0，P?Mn????E(ZnI?M?1)?n???E(Zn)?；
（2） 如果E(Zn2)??，则对???0，
P?Mn????1?2E(ZI?Mn???)?2n2E(Zn)?2，
并且 E(Mn2)?4E(Zn2)
三 一致可积性
定义 1 假设有一列随机变量X1,X2,?,称它们是一直可积的，如果对???0，存在??0，使得对任意A，当P(A)??时，E(XnIA)??对
?n成立。
因为一致可积的条件比较难验证，下面给出两个一致可积的充分条件。
1 假设X1,X2,?是一列随机变量，并且存在常数C??，使得
2E(Xn)?C对所有的n成立，则此序列是一致可积的。
2 设?Mn?是关于?Fn?的鞅。如果存在一个非负随机变量Y，满足
E(Y)??,且Mn?Y，对?n成立，则?Mn?是一致可积鞅。
四 鞅收敛定理
定理 （鞅收敛定理）设M0,M1,?是关于X0,X1,?的鞅，并且存在常数C??使得E(Mn)?C对任意n成立，则当n??时，?Mn?收敛到一个随机变量M?
根据上面的定理，我们可以得出以下结论：如果?Mn?是关于
X0,X1,?的一致可积鞅，则limMn存在，记为M?，并且EM??EM0.
n??五 生活举例
1 设Xn是一个赌徒n 次抛掷公平硬币后的财产，如果硬币正面朝上，则赌徒赢得1美元，硬币反面朝上，则赌徒输掉1美元。已知历史上所拥有的财产，且下一次试验后赌徒财产的条件期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是鞅。这个例子称为赌徒谬误。令Yn = Xn2 ? n ，其中Xn 是上例中赌徒的财产，则随机过