发布时间 : 星期二 文章2017-2018学年高中数学选修4-5教学案（打包16份） 人教课标版14（优秀教案）更新完毕开始阅读46b37ca85b8102d276a20029bd64783e08127d21
．～
平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题，优化的数学模型
[读教材·填要点]
．平均值不等式 ()定理(平均值不等式)： 设，，…，为个正数，则 ≥，
等号成立?＝＝…＝.
①推论：设，，…，为个正数，且…＝，则＋＋…＋≥. 且等号成立?＝＝…＝＝.
②推论：设为常数，且，，…，为个正数；则当＋＋…＋＝时， …≤，
且等号成立?＝＝…＝. ()定理：
设，，…，为个正数，则 ≥，
等号成立?＝＝…＝. ()定理：
设，，…，为正数，则 ≥≥，
等号成立?＝＝…＝.
推论：设，，…，为个正数，则 (＋＋…＋)(＋＋…＋)≥. ．最值问题
设为()的定义域，如果存在∈，使得()≤()(()≥())，∈，
则称()为()在上的最大(小)值，称为()在上的最大(小)值点，寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题．
[小问题·大思维]
．利用基本不等式≥求最值的条件是什么？
提示：“一正、二定、三相等”，即：()各项或各因式为正；()和或积为定值；()各项或
各因式能取得相等的值．
．应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得.
[例] 已知＞，＞，且＋＝， 求＋的最小值．
[思路点拨]本题考查基本不等式的应用，解答本题可灵活使用“”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值．
[精解详析] 法一：∵＞，＞，＋＝， ∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋ ≥＋＝.
当且仅当＝，又＋＝， 即＝，＝时，上式取等号． 故当＝，＝时，(＋)＝.
()运用不等式求最大值、最小值，用到两个结论，简述为：“和定积最大”与“积定和最小”．
()运用定理求最值时：必须做到“一正，二定，三相等”．
．求函数()＝(＞)的最大值及此时的值． 解：()＝－.
因为＞，所以＋≥， 得－≤－， 因此()≤－，
当且仅当＝，即＝时，式子中的等号成立． 由于＞，因而＝时，等号成立． 因此()＝－，此时＝.
利用平均值不等式求最值 利用基本不等式求最值 [例] 已知为正实数，求函数＝(－)的最大值．
[思路点拨]本题考查三个正数的算术—几何平均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼凑出利用其算术—几何平均不等式的条件，然后再求解．
[精解详析]∵＝(－)， ∴＝(－)＝(－)(－)·. ∵＋(－)＋(－)＝， ∴≤＝.
当且仅当＝－＝－，即＝时取“＝”号． ∴≤. ∴的最大值为.
()利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
()应用算术—几何平均不等式定理，要注意三个条件即“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
()当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．
．已知为正实数，求函数＝·(－)的最大值． 解：＝(－)＝·(－) ＝··(－)× ≤＝×＝.
当且仅当＝－，即＝时取等号． 此时，＝.
[例] 已知圆锥的底面半径为，高为，求圆锥的内接圆柱体的高为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
[思路点拨]本题考查算术—几何平均不等式在实际问题中的应用，解答本题需要作出圆锥、圆柱的轴截面，利用相似三角形建立各元素之间的关系，然后利用算术—几何平均不等式求最大值．
[精解详析]
设圆柱体的底面半径为，如图，由相似三角形的性质可得
利用平均值不等式解应用题 ＝， ∴＝(－)．
∴圆柱＝π＝(－)(＜＜)． 根据平均不等式可得
圆柱
＝···≤
＝π.
当且仅当＝，即＝时，圆柱最大＝π.
()在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用“平均值不等式”求最值． ()在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只能含一个变量，否则是无法求最值的．
．如图()所示，将边长为的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图()所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
解：设正六棱柱容器底面边长为(>)，高为， 如图可知＋＝，
即＝(－)， 所以＝底·＝×·
＝··(－)＝××××(－)≤× ＝.
当且仅当＝－，即＝时，等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
[对应学生用书]
一、选择题
．函数＝＋(>)的最小值是( )