发布时间 : 星期一 文章勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别更新完毕开始阅读44f5af1dff00bed5b9f31d30
勒贝格积分的若干简介
我们先学习了Riemann积分（简称R积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数范围内，R积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：
⑴R积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。 ⑷缺乏单调收敛。
鉴于R积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue积分（简称L积分）。那么，建立L积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L积分的思路也基本与R积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现???的不定情形的出现，在定义L积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L积分和R积分的区别和联系。
关于Lebesgue积分与Riemann积分的定义比较
1.1勒贝格积分的定义[3]:
定义1：设f(x)是E?Rn?mE???上的非负可测函数.我们定义f(x)是E上
??x)dx:hx(?)是Rn上的非负可测简单函的Lebesgue积分?f(x)dx?sup??h(h(x)?f(x)?EE?x?E数}，这里的积分可以是+∞;若?f(x)dx??,则称f(x)在E上Lebesgue可积的。
E?设f(x)是E?Rn上的可测函数,若积分?f?(x)dx，f?(x)dx中至少有一个是有
EE限值,则称?f(x)dx??f?(x)dx??f?(x)dx为f(x)是E上的Lebesgue积分;当
EEE上式右端两个积分值皆为有限时,则称f(x)是E上是Lebesgue可积的。
定义2：设E是一个勒贝格可测集，m(E)??，f(x)是定义在E上的勒贝格可测函数，又设f(x)是有界的，就是说是否存在l及μ，使得f(E)?(l,μ)，在?l,μ?中任取一分点组D
l?l0?l1??ln?μ,
记
?(D)?max(lk?lk?1)
1?k?nEk?E(lk?1?f(x)?lk),
并任取ζi?Ek（我们约定，当Ek??时，f(ζi)m(Ek)?0），作和
S(D)??f(ζi)m(Ek)
k?1n如果对任意的分法与ζi的任意取法，当?(D)?0时，S(D)趋于有限的极限，则称它为f(x)在E上关于勒贝格测度的积分，记作
J??f(x)dx.
E定义3：设f(x)是E?Rn ?mE???上的有界可测函数。作E的任意分割
D:E=?Ei,其中Ei为互不相交的非空可测子集。设
i?1nBi?supf(x),Ai?inff(x),
x?Eix?Ei则D的大和及小和为SD??BimEi,sD??AimEi设f(x)在E上的上下积分为
i?1i?1nn??Ef(x)dx?supsD,??f(x)dx?infSD
DED若??f(x)dx??f(x)dx则称f(x)在E上是可积的,且称该共同值为f(x)在E上
EE的Lebesgue积分,记为?f(x)dx。
E为了便于与R积分的定义比较我罗列了L积分的三种定义，这三种定义是等价的。由定义1定义L积分的方法可称为逼近法，所谓逼近法就是从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法. 由定义2、3定义L积分的方法可称为划分法，所谓划分法就是类似于R积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上给出L积分。对于定义1的逼近法比较繁琐但是这种定义易于与R积分的定义比较，下面是R积分的定义。 1．2 黎曼积分的定义
不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：
定义1：S是函数f在闭区间?a,b?上的黎曼积分，当且仅当对于任意的??0，都存在??0，使得对于任意的取样分割x0,x1,度最大值??? ，就有：
,xn;t0,t1,,tn?1只要它的子区间长
?f(t)(xii?0n?1i?1?xi)?s??
也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间?a,b?上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f在闭区间?a,b?上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。
这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。
定义2设f(x)是定义在?a,b?上的有界函数，任取一分点组T
a?x0?x1?x2??xn?b
将区间?a,b?分成n部分，在每个小区间??xi?1,xi??上任取一点ζi,i?1,2,3,….作和
S??f(ζi)(xi?xi?1)
i?1n令r?max(xi?xi?1)，如果对任意的分发与ζi的任意取法，当r?0时，s趋
1?i?n于有限的极限，则称它为f(x)在?a,b?上的黎曼积分，记为
I?R?f(x)dx
ab定义3：s是函数f在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的
??0，都存在一个取样分割x0,x1,的分割y0,y1,,yn和 s0,s1,,xn;t0,t1,,tn?1，使得对于任何比其“精细”
,sn，都有：
?f(s)(yii?0m?1i?1?yi)?s??
如果有一个s满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个s满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值???的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于?，于是满足：
?f(s)(yii?0m?1i?1?yi)?s??
上面对黎曼积分的三种定义都是等价的。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的（具体见达布积分定义）其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x0,x1,和都与s相差不超过
,xn使得它的上达布和与下达布
? 。令r等于max(Mi?mi)，其中Mi和mi是f在?xi,xi?1?上
0?i?n?12?的上确界和下确界。再令?是和min(Mi?mi)中的较小者。可以看出，当一
2m0?i?n?1个分割的子区间长度最大值小于?时， f关于它的黎曼和与上达布和或下达布
?和至多相差，所以和s至多相差?。由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达
2布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。
从定义上看，它们的主要区别是：R积分是“竖”着分割区间?a,b?，而L积分是“横”着分割值域?L,M?.前者的优点是?i???xi?1,xi??的度量容易给出，但当分法的细度T充分小时，函数f(x)在?i上的振幅?i?supf(x)?inf(x)仍可能较
x??ix??i大；后者的优点是函数f(x)在Ek上的振幅?k?supf(x)?inff(x)??(D)较小，
x?Ekx?Ek但Ek一般不再是区间，而是可测集.其度量m(Ek)的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是R积分与L积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使E中的点分成几大类，更简单明了.另外，L积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于?a,b?上.然而就是这一点点的差别，使这两种积分产生了本质的区别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质.这在下面的讨论中可以很清楚的看到.
2．关于Lebesgue积分与Riemann积分的计算比较
前面介绍的L积分定义显然过于理论化，很难看出有固定的计算稳定。L积分是否只有理论上的意义呢？当然不该如此，下面的内容我们讨论黎曼可积与勒