发布时间 : 星期一 文章常微分方程试题库试卷库2汇编更新完毕开始阅读43c76199a22d7375a417866fb84ae45c3a35c2c7
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常微分方程期终试卷(13)
一、填空题(30分)
1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是
?M?N??N?(x)?y?x( ),有只含y的积分因子的充要条件是 ?M?N???M?(y)?x( ?y )。
dyf(x,y)dx??(x0)?y0的解等价于求积分方程(y=y0+x02、 求dx=f(x,y)满足)。
dy?x2?y23、 方程dx定义在矩形域R:-2?x?2,?2?y?2上,则经过点(0,0)的
11??x?4)即位存在区间是(4。
4、 若Xi(t)(I=1,2,?,n)是齐线性方程的 n个解,W(t)为伏朗斯基行列式,则W(t)
满足一阶线性方程(W?(t)+a1(t)W(t)=0)。
5、 若X1(t), X2(t) ,?Xn(t)为n阶齐线性方程的n 个解,则它们线性无关的充要
条件是(W[X1(t), X2(t) ,?Xn(t)]?0)。
6、 在用皮卡逐步逼近法求方程组X'=A(t)X+f(x),X(t0)=?的近似解时,则
tx)。
7、 当方程的特征根为两个共扼虚根时,则当其实部(为零)时,零解是稳定的,对应
的奇点称为(稳定中心)。 8、 满足(X(x,y)=0,Y(x,y)=0)的点(x,y), 称为方程组的奇点。
9、 若?(t)和?(t)都是X'=A(t)X的基解矩阵,则 ?(t)和?(t)具有关系:
(?(t)??(t)C(C为非奇异矩阵))。
n?1dnyyn?1dndxn?1+??any?0)的方程称为欧拉方程。 10、 形如(xdx+a1x
n?k(t)?(???[A(s)?k?1(s)?f(s)]dst0**
二、计算题
求下列方程的通解(1-2)
3yx2y?)dx?(x2?y2)dy?031、(2xy+
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?M?N?2x?x2?y2,?2x?x解:因为?y
?M?N??N?x又因为?y
x 所以方程有积分因子:u(x)= e xe方程两边同乘以得:
y3x22)dx?e(x?y)dy?02x(2xy?xy?3e
3yex(2xy?x2y)dx?exx2dy]?[exdx?exy2dy]?03[
3yexx2y?ex?c3也即方程的解为 . dy33???x?y?3xy?0(y?)dx 2、
dy?y??p?tx解:令,dx,则
3tx?33321?t3 x?tx?3tx?0即
3t2p?tx?1?t3 从而
3t3t2y??()?()dt?c331?t1?t又
31?4t3?c322=(1?t)
故原方程的通解为
3t?x??1?t3??331?4t?y??c32?2(1?t) ? t为参数 dy?x?y23、求方程dx经过(0,0)的第三次近似解
??y0?0 解:0更多精品文档
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x2?1??xdx?20xx
x4x2x5?2??(x?)dx??42200
x4x10x7?3??(x???)dx4400200x2x5x11x8???204400160 =2x
d2xdx?2?3x?2t?12dt4、求dt的通解
d2xdx?2?3x?022??2??3?0 dtdt解:齐线性方程的特征方程为
故齐线性方程的一个基本解组为e,e 因为?3t?t,
?0不是特征方程的特征根
所以原方有形如 将
x(t)=B0t?B1的特解
x(t)=B0t?B1代入原方程,比较t的同次幂系数得:
?3B0t?(?2Bt ?10?3B1)?2
所以原方程的解为:
??3B0?213?B?B0??1?2B?3B?101?9 2,故有解之得:31x(t)?c1e3t?c2e?t?(?t?)29
?2?11??12?1?????1?12??的基解矩阵
5、试求:
?2?1??1解:记A=???1,?2得11?2?1???12??,又p(?)?det(?E?A)?(??1)(??2)(??3)?0 ?2,?3?3均为单根
(?1E?A)V1?0得
?1设?1对应的特征向量为v1,则由
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?0??0?v1????,??0v1??1????????1?? ???? 取
?,?同理可得23对应的特征向量为:
?1??1?v2??1?,v3??0????????1???1??
t2t3t?(t)?ev,?(t)?ev,?(t)?ev3均为方程组的解 1223则1令
?(t)?(?1(t),?2(t),?3(t))
011w(0)?det?(0)?110?0又 所以
111
?(t)?(?1(t),?2(t),?3(t))即为所求。
d2xdx?3?2x?02dt6、试求dt的奇点类型及稳定性 dxdy?y??3y?2x解:令dt,则:dt
01??1?0?0?2?32??3因为,又由得
?2?3??2?0解之得?1??1,?2??2为两相异实根,且均为负
故奇点为稳定结点,对应的零解是渐近稳定的。
7. 一质量为m的质点作直线运动,从速度等于零的时刻起,有一个和时间成正比(比例系数为k1)的力作用在它上面,此质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的关系。
(其中a为质点的加速度,F合为质点受到的合外力)m解:由物理知识得: F?k1t?k2v
根据题意:合dvm?k1t?k2v(k2?0)故:dt
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a?F合