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积分r(t)+e(t)积分++u(t)+被控对象y(t)-微分
图A2-2 模拟PID控制系统原理框图
模拟PID控制器中比例环节的作用是对偏差的大小进行比例调节，并在瞬间作出快速反应。偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数KP，KP越大，控制越强。但过大的KP会导致系统振荡，破坏系统的稳定性。由式(A2-2)可见，只有当偏差存在时，第一项才有控制量输出。所以，对大部分被控制对象(如直流电机的调压调速)，要加上适当的与转速和机械负载有关的控制常量u0，否则，比例环节将会产生静态误差。
积分环节的作用是把偏差的积累作为输出。在控制过程中，只要有偏差存在，积分环节的输出就会不断增大，直到偏差e(t)＝0，输出的u(t)才可能维持在某一常量，使系统在给定值r(t)不变的条件下趋于稳态。因此，使用积分环节后即使不加控制常量u0，也能消除系统输出的静态误差。积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数TI越大，积分的积累作用越弱。增大积分常数TI会减慢静态误差的消除过程，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。所以，必须根据实际的情况来确定TI。
实际的控制系统除了希望消除静态误差外，还要求加快调节过程。在偏差出现的瞬间，或在偏差变化的瞬间，不但要对偏差量作出立即响应(比例环节的作用)，而且要根据偏差的变化趋势预先给出适当的修正。为了实现这一作用，可在PI控制器的基础上加入微分环节，形成PID控制器。
微分环节的作用是阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势(变化速度)进行控制的。偏差变化得越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对高阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。但微分环节对输入信号的噪声很敏感，对那些噪声较大的系统一般不可用微分，或在微分起作用之前先对输入信号进行滤波。适当地选择微分常数TD，可以使微分的作用达到最优。
由于计算机进入了控制领域。人们将模拟PID控制规律引入到计算机中来。对式(A2-2)的PID控制规律进行离散处理，就可以用软件来实现PID控制，即数字PID控制。
3.3 数字PID控制算法
数字PID控制算法可以分为位置式PID控制算法和增量式PID控制算法。
3.3.1 位置式PID控制算法
由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量进行连续控制。因此，式(A2-2)中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。离散化处理的方法为：以T作为采样周期，k作为采样序号，则离散采样时间kT对应着连续时间，用求和的形式代替积分，用增量的形式代替微分，可作如下近似变换：
?t?kT(k?0,1,2...)??kkt?e(t)dt?Te(jT)?Te? （A2-3） ??j?0j?0j?0?de(t)e(kT)?e[(k?1)T]ek?ek?1????dtTT?上式中，为了表示方便，将e(kT)简化成ek。
将式(A2-3)代入式(A2-2)，就可以得到离散的PID表达式为：
Tuk?KP[ek?TI或者
?ej?j?0kkTD(ek?ek?1)]?u0 （A2-4） Tuk?KPek?KI?ej?KD(ek?ek?1)]?u0 （A2-5）
j?0式中，k——采样序号，k＝0，1，2，…；
uk——第k次采样时刻的输出值； ek——第k次采样时刻输入的偏差值； ek-1——第k-1次采样时刻输入的偏差值； KI——积分系数，KI＝KPT/TI； KD——微分系数，KD＝KPTD/T；
u0——开始进行PID控制时的原始初值。
如果采样周期取得足够小，上述计算可获得足够精确的结果，离散控制过程与连续控制过程十分接近。
式(A2-4)和式(A2-5)表示的控制算法是直接按式(A2-2)所给出的PID控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式PID控制算法。
由于全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对ek进行累加，工作量大；并且，因为计算机输出的uk对应的是执行机构的实际位置，在计算机出现故障时，若输出的uk发生大幅度变化，则会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在生产实际中是不能允许的。
3.3.2 增量式PID控制算法
所谓增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量Δuk。当执行机构需要的控制量是增量(例如步进电动机的驱动)，而不是位置量时，可以使用增量式PID控制算法进行控制。
增量式PID控制算法可通过式(A2-4)推导出。由式(A2-4)可得控制器在第k-1个采样时刻的输出值为：
Tuk?1?Kp[ek?1?TI?ej?j?0k?1TD(ek?1?ek?2)]?u0 (A2-6) T将式(A2-4)与式(A2-6)相减，并整理，就可以得到增量式PID控制算法公式为：
?uk?uk?uk?1?KP[ek?ek?1?KP(1?TTek?D(ek?2ek?1?ek?2)]?TIT (A2-7)
TTD2TT?)ek?KP(1?D)ek?1?KPDek?2?TITTTTTD?) TIT2TD) TAek?Bek?1?Cek?2式中，A＝KP(1?B＝KP(1?C＝KPTD T上式的?uk还可以写成下面的形式：
?uk?KP(?ek?TTek?D?2ek)TIT
(A2-8)
?KP(?ek?Iek?D?2ek)式中，
?ek?ek?ek?1
?2ek?ek?2ek?1?ek?2??ek??ek?1
I=T/T1 D=TD/T.
由式(A2-7)可以看出，如果计算机控制系统采用恒定的采样周期T，一旦确定了A、B、C，只要使用前后3次测量值的偏差即可，就可以由式(A2-7)求出控制增量，与位置式算法式(A2-4)相比，计算量小得多，因此在实际中得到广泛的应用。
位置式PID控制算法也可通过增量式控制算法推出递推计算公式：
uk?uk?1??uk (A2-9) 这就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推PID控制算式。
3.4 数字PID的改进算法
由于数字PID的灵活性使其在计算机控制系统得到了广泛的应用。一些原来在模拟PID控制器中无法实现的问题。在引入计算机后，只要通过软件处理就得以解决。于是产生了一系列围绕PID的改进算法，使PID控制器的品质得到进一步的改进和提高。下面将介绍数字PID控制算法中一些常用的改进算法。
3.4.1 对积分作用的改进
在电动机控制系统中，控制量的输出值要受到元器件或执行机构性能的约束(如电源电压的限制、放大器饱和等)，因此它的变化应在有限的范围内。即
ukmin≤uk≤ukmax (A2-10)
如果计算机根据位置式PID算法得到的控制量uk在上述范围内，那么PID控制可以达到预期的效果。一但超出上述范围，那么实际执行的控制量就不再是计算值。产生的结果与预期的不相符，这种现象通常称为饱和效应。这类现象在电机的启动、停止过程中，以及负载或给定值发生突变时特别容易出现。