发布时间 : 星期日 文章中考数学试题专题等腰三角形与勾股定理试题更新完毕开始阅读4347ec24f66527d3240c844769eae009581ba2ac
??BPC??BPQ??QPC?90°，PB?PC，
?△PBC是等腰直角三角形． （2）存在点M使AM⊥MD． 以AD为直径，P为圆心作圆P．
当a?b时，四边形ABCD为矩形，PA?PD?PQ，
圆P与BC相切于点Q，此时，M点与Q点重合，存在点M，使得AM⊥MD，
1(a?b)． 2当a?b时，四边形ABCD为直角梯形，
此时BM?AD?BC，PA?PD?PQ，圆心P到BC的距离PQ小于圆P的半径，圆P与BC相交，BC上存在两点
M1，M2，使AM⊥MD，
过点A作AE⊥DC，在Rt△AED中，AE?a?b，DE?b?a，
AD2?AE2?DE2，AD2?2a2?2b2，AD?2a2?2b2 连结PM1，PM2，则PM1?PM2?2a2?2b2，
22122a2?2b2(a?b)2b?a在直角三角形PQM1中，QM1?PM?PQ?， ??442?BM1?BQ?M1Q?a．
同理可得：BM2?BQ?M2Q?b．
综上所述，在线段BC上存在点M，使AM⊥MD． 当a?b时，有一点M，BM?D E C
a?b；当a?b时，有两点M1，M2，BM1?a，BM2?b． 2P A B
M1 Q M2
27．（09湖北宜昌）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别
与线段CF， AF相交于P，M． (1)求证：AB＝CD；
(2)若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD 的数量关系，并说明理由．
CPAEDMF
【关键词】全等三角形的性质与判定、等腰三角性的性质 【答案】解：(1)证明：∵AF平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠DAB＝
12B∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．
∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC＝CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC＝CD ∠CAD+∠ACE＝∠DAB+∠ABE＝90°， ∠CAD＝∠DAB．
∴∠ACE＝∠ABE，∴AC＝AB． 注：证全等也可得到AC＝AB ∴AB＝CD．
(2)∵∠BAC＝2∠MPC， 又∵∠BAC＝2∠CAD，∴∠MPC＝∠CAD．
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠MPC＝∠CDA． ∴∠MPF＝∠CDM．
∵AC＝AB，AE⊥BC，∴CE＝BE． 注：证全等也可得到CE＝BE ∴AM为BC的中垂线，∴CM＝BM． 注：证全等也可得到CM＝BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一)
∴∠CME＝∠BME． 注：证全等也可得到∠CME＝∠BME ∵∠BME＝∠PMF，
∴∠PMF＝∠CME，
∴∠MCD＝∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD＝∠F
28．（09湖南怀化）如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）． （1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．
【关键词】一元二次方程解法及应用、勾股定理及逆定理、等腰三角形、等腰梯形的判定 【答案】
解：（1）如图4，过B作BG?OA于G， 则AB?2BG2?GA2?122?（15?10）?169?13
过Q作QH?OA于H，
则QP?QH2?PH2?122?（10?t?2t)2?144?(10?3t)2 要使四边形PABQ是等腰梯形，则AB?QP， 即144?(10?3t)?13,2
5?t?或t?5（此时PABQ是平行四边形，不合题意，舍去）
3（2）当t?2时，OP?4，CQ?10?2?8，QB?2。
QCB∥DE∥OF，?QBQEQDQB1????. AFEFDPOP2?AF?2QB?2?2?4，?OF?15?4?19.
1?S梯形OFBC?（10?19）?12?174.
2（3）①当QP?PF时，则12?(10?t?2t)?15?2t?2t，
22119?t?或t?.
33②当QP?QF时，则122?(10?t?2t)2?122?FH2?122?[15?2t?(10?t)]2 即12?(10?3t)?12?(5?3t)，?t?2222225 6414?t?或t??(舍去）. ③当QF?PF时，则12?(5?3t)?15，33
综上，当t?，t?131954，t?，t?时，△PQF是等腰三角形． 363
29．（09湖南邵阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?AD?DC，AC?AB，将CB延长至点F，使BF?CD．
（1）求?ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形．
D A C
B
F
【关键词】等腰三角性的性质与判定、等腰梯形的性质 【答案】（1）QAD∥BC， ??DAC??ACB，QAD?DC，??DCA??DAC，11??DCA??ACB??DCB，QDC?AB，??DCB??ABC，??ACB??ABC．
22在△ACB中，QAC?AB， ??CAB?90°，1??ACB??ABC?90°，??ABC??ABC?90°，?ABC?60°；
2（2）连接DB．Q在梯形ABCD中，AB?DC，?AC?DB， 在四边形DBFA中，DA∥BF，DA?DC?BF， ?四边形DBFA是平行四边形，?DB?AF， ?AC?AF，即△ACF为等腰三角形．
【关键词】直角三角形的有关计算、勾股定理 【答案】C
30．（2009年湖北十堰市）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）． （供选用的数据：2≈1．414，3≈1．732）
【关键词】直角三角形的有关计算、测量问题、勾股定理 【答案】解：由题意可知 ∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°…2分 在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC?PC?60 在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC?203 ∴AB?AC?BC?60?203
≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)
答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米．
说明：（1）其它解法请参照上述评分说明给分；（2）不作答不扣分．