发布时间 : 星期六 文章第5章参数估计与假设检验练习题(精)更新完毕开始阅读42b06d52900ef12d2af90242a8956bec0975a58e
第5章 参数估计与假设检验练习题
1、设随机变量 X 的数学期望为 ? ，方差为 ?2 ，（X1 ，X2 ，···，Xn ）为X的一个样本，
1n1n2试比较 E(?(Xi??)) 与 E(?(Xi?X)2) 的大小。
ni?1ni?1
（ 前者大于后者 ）
2、设随机变量 X与Y相互独立，已知 EX = 3，EY = 4，DX = DY = ?2 ，试问：k 取何值时，Z = k ( X 2 ? Y 2 ) + Y 2 是 ?2 的无偏估计 。
（ 16 / 7 ）
3、设正态总体 X ~ N ( ? , ?2 ) ，参数 ? ，?2 均未知，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）（ n ? 2 ）
??C?(Xi?1?Xi)2 为 ?2 的无偏估计。 为简单随机样本，试确定 C，使得 ?2i?1n?1 （
4、假设总体 X 的数学期望为 ? ，方差为 ? 2 ，(X1,X2,...,Xn) 为来自总体 X 的一个样本，
1 ）
2(n?1)X、S2 分别为样本均值和样本方差，试确定常数 c ，使得 X2?cS2 为 ? 2 的无偏估计量.
（ 1 / n ）
5、设 X1 ，X2 是取自总体 N ( ? , ?2 ) （ ? 未知）的一个样本，试说明下列三个统计量
?1??131111?2?X1?X2 ，??3?X1?X2 中哪个最有效。 X1?X2 ，?442232
?2 ） （ ?
?3x2?6、设某总体 X 的密度函数为：f(x,?)???3??00?x??其它 ，（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为该
总体的样本， Yn = max ( X1 , X2 , … , Xn ) ，试比较未知参数 ? 的估计量 个更有效？
（ n > 1 时，
7、从某正态总体取出容量为10的样本，计算出
? 和 ??2 。 方差的矩估计 ?3n?14Yn 哪X 与
3n33n?1Yn 更有效 ） 3n?xi?110i?150 ，?xi2?2720 。求总体期望与
i?110
（ 15 ；47 ）
11?(1?)??1??8、设总体 X 具有密度 f(x;?)??C?x?0?x?C ，其中参数 0 < ? < 1，C 为已知常数，x?C且C > 0，从中抽得一样本 X1 ，X2 ，… ，Xn ，求参数 ? 的矩估计量。
1n（ 1 ? C /?X ，其中 X??Xi ）
ni?1
9、设总体 X 服从（ 0，? ）上的均匀分布，其中 ? > 0 是未知参数，（ X1 ，X2 ，… ，
? ，并判断 ?? 是否为 ? 的无偏估计量。 Xn ）为简单随机样本，求出 ? 的矩估计量 ?
1n（ 2?X ，其中 X??Xi ；是 ）
ni?1
10、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为：
2???1??1?xf(x;?)????1?0?0?x?1 ， 其中 ? > 1 且未知。试求该总体未知参数 ? 的极大似然估计量。 其它
1??1?（ ??lnXi ） MLEni?1n
??(1?x)??1,x?(0,1)11、设总体 X 的概率密度为 f(x;?)?? ，其中 ? > 0 是未知参数，
0,x?(0,1)?（X1 ，X2 ，…… ，X n ）是取自总体X的一个样本，试求：总体期望 EX 的最大似然估计量值和最大似然估计量。
?（ ?MLE??ln1(?x)ii?1n?ln1(?x)?nii?1n? ；?MLE???ln(1?Xi?1ni)?ln(1?Xi?1n ）
i)?n
12、设样本 X1 ，X2 ，… ，Xn 为取自分布密度为 f ( x ) 的总体，其中
??(?x)r?1e??xf(x)??0?
x?0x?0 （ r 已知），? > 0，求参数 ? 的极大似然估计。
1n1nrr??（ ?MLE? ，其中 x??xi ； ?MLE? ，其中 X??Xi ）
ni?1ni?1xX
13、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3，4，3，0，2，5，1，0，7，2，0，3 。若死亡人数X服从参数为 ? 的Poisson 分布，求：（1）? 的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果求 P ( X > 2 ) 。
?（ （1）?MLE?2.5 ； （2）0.4562 ）
1??xe14、设（ X1 ，X2 ，… ，Xn ）为总体 X 的一组样本，总体 X 密度函数为： f(x;?)? 2?1（ 参数 ? 未知，且 ? > 0 ），（1）试求未知参数 ? 的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。
?MLE （ （1）?1n??Xi ；（2）无偏估计量 ） ni?1
?x?x22??15、设总体 X 密度函数为：f(x;?)???2e?0?2x?0， （参数 ? > 0 且未知）， 取样本 其它（X1 ，X2 ，… ，Xn ） ，求总体未知参数 ? 的最大似然估计量和矩估计量。
?（ ?MLE?
21n1n2? ，其中 X??Xi ） Xi ； ?ME?X??ni?12ni?1???x16、设总体 X 具有密度函数 f(x;?)???0???10?x?1其它 （ 其中 ? 为未知参数，且
? > 0 ） ，取自总体 X 的一组样本（ X1 ，X2 ，… ，Xn ），求 ? 的矩估计量和极大似然估计量。
2?（ ?ME?X???1?X??1n??? ， 其中 X?n?Xi ； ?MLEi?1???n??n???lnXi?i?1??? ） ???2
??xe??x17、设随机变量X ~ f(x)???0x?0x?0 （ 未知参数 ? > 0 ），且 EX = ? 。取样本（ X1 ，
X2 ，… ，Xn ），求总体期望 ? 的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。
?（ ?MEn1n12??X ，其中 X??Xi ，无偏； ??Xi， MLE?2X ，其中 X?ni?1ni?12?E??MLE?2EX6???，有偏 ） n?
18、作 n 次独立重复试验，观察到事件A 发生了m 次，试证明 P ( A ) = p 的矩估计和极大