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6.MPC—多点约束
1.1 MPC定义
MPC(Multi-point constraints)即多点约束，在有限元计算中应用很广泛，它允许在计算模型不同的自由度之间强加约束。简单来说，MPC定义的是一种节点自由度的耦合关系，即以一个节点的某几个自由度为标准值，然后令其它指定的节点的某几个自由度与这个标准值建立某种关系。多点约束常用于表征一些特定的物理现象，比如刚性连接、铰接、滑动等，多点约束也可用于不相容单元间的载荷传递，是一项重要的有限元建模技术。
在不同的求解器模版下可以在patran中定义不同的MPC，比较常用的有RBE2、RBE3、EXPLICIT、RBAR、RROD、RJOINT等，具体的使用根据计算模型来定，MPC类型如图6-1所示。
图6-1 NASTRAN中MPC类型
1.2 MPC使用范围
这里提请大家注意的是，MPC建立的是多点约束关系，包括刚性约束与柔性约束两种。从某种意义上说，建立约束即建立两个或多个节点之间的联系，因而也可将MPC约束说成是MPC单元。如RBAR、RBE1、RBE2建立的是刚性单元，这些单元局部刚度是无限大的；而RBE3、RSPLINE单元则是柔性单元，其只是建立了不同节点的力与力矩的分配关系，也称之为插值单元。其局部刚度为零，不会对系统刚度产生影响。
1）描述非常刚硬的结构单元。如果结构模型中存在两个或两个以上的刚度相差很大的元器件时，刚硬元件在分析过程中，一方面起传递载荷作用，另一方面也发生部分变形。但其变形非常小，和柔软元件比，它是“刚性”的。这种情况下，对刚硬元件的描述显得尤为重要，如果用大刚度的弹性单元来模拟刚硬元件，会造成病态解。原因是，刚度矩阵中对角系数差别太大，引起矩阵病态。为解决本问题，应用适当的约束方程来代替刚硬的弹性单元，来创建更为合理的有限元模型。
2）在不同类型的单元间传递载荷。如在有限元模型中，包含三维实体单元和壳体单元。模型看来成功，没什么问题。但是求解是，会出现“刚度矩阵奇异”的错误。原因是，实体单元和壳体单元是不相容单元，实体单元节点有三个自由度（移动），而壳体单元节点却有五个自由度（三个移动，两个转动）。若不采取特殊处理，则无法将壳体单元上的力偶传递到实体单元上。为了消除这种奇异性，必须建立一种连接，作用是在实体中建立一个耦合，以承受壳体力偶。
3）任意方向的约束。当某节点可以沿着不平行于坐标轴的某个边界运动时，就需要定义一个约束方程，这个方程反映垂直于此边界的运动的约束。
4）刚性连杆。
1.3 MPC定义的数学基础
（1）小位移理论
（2）MPC对系统刚度、质量、载荷等的影响
1.4 MPC分类
MSC.Nastran中常用的MPC类型有如下几种。
◆ Explicit 用于定义某节点的位移与其他若干节点的位移的函数关系，该函数是一个
一次多项式，具体方程如下所示：
U0 = C1U1 + C2U2 + C3U3 + ... + CnUn + C0
式中，U0为从自由度，Ui为主自由度，Ci是权系数，C0为常数项。
◆ Rigid（fixed）固定的多点约束。其将若干个依赖节点与某个独立节点相互固定，从
而使依赖节点的所有自由度与独立节点保持一致，包括位移也保持一致。这种多点约束在用曲面模拟板状实体时，可以连接不同的平面，从而可以使不同的曲面连接起来。
◆ RSSCON Surf-Vol 建立二维板单元上一个从节点与三维体上两个主节点的MPC
约束，从而实现不同类型单元连接时的自由度传递。该约束常用在板壳与三维体的
焊接上，如图6-2所示。
图6-2 板-体连接
上图中定义的MPC-RSSCON卡片如下：
RSSCON 142 GRID 1 205 201 RSSCON 143 GRID 22 206 202
RSSCON 144 GRID 43 207 203
RSSCON 145 GRID 64 208 204 式中，1为板壳单元边上的节点，205、201为对应与节点1的三维体单元上节点，依次类推。 另外，板-体连接也可用RBE3单元来实现。
◆ Cyclic Symmetry 在两个不同的区域之间，建立一组柱面对称的多点约束边界条件
（轴对称的多点约束边界条件）。从patran的相应界面中可见，需要选择一个柱坐
标系，该坐标系的Z轴作为对称轴，在“Dependent Region”和\Region\文本框中，输入依赖节点和独立节点，依赖节点和独立节点必须成对出现，而且，各节点对的角度差应该相等。
◆ Sliding Surface 在两个相一致的区域的节点之间，定义一个滑动曲面。对应节点间
的移动自由度（即垂直于该曲面方向）被约束，但其他方向上保持自由。 ◆ RBE1
◆ RBE2 刚性单元，作为一个十分简便的工具，其可将相同的几个在刚性连接在
一起。 RBE2单元的定义卡片如下所示： RBE2
式中
EID MPC编号，系统自动产生 GN 主节点号
CM 从节点自由度 GMi 从节点号 注意：（1）使用RBE2单元时，只能指定一个主节点，且主节点的六个自由度被用来参与对
从节点的载荷分配或约束。
（2）RBE2单元与RBE1单元的区别是，RBE2的Independent只需定义节点，而不必指定自由度，因为他包含节点的6个自由度；但RBE1的Independent需要指定节点自由度。
RBE2单元的使用范围：
（1） 焊接：
（2） 扭矩施加
（3） 薄壁圆筒自由膨胀
◆ RBE3 柔性单元，RBE3单元在分配载荷（力和力矩）方面是一个强有力的工具。
与RBER和RBE1单元不同的是，其在计算中不会增加系统的刚度。力和力矩在
RBE3单元的作用下，通过相应的权值，被从节点分配到一序列主节点上，且RBE3的Independent自由度最好不要有旋转自由度。在实际应用中，RBE3单元没有RBE2
单元应用得广泛，原因是分配权值不好确定。
RBE3单元工作原理如下：
（1）将参考节点载荷（力与力矩）等效移至主节点围成面域的中心节点CG，生成新的力与力矩
EID GM6 GN GM7 CM GM8 GM1 -etc.- GM2 GM3 GM4 GM5 FA Reference Grid
FCG
CG MA
CG
MCG
e
FCG?FA
MCG?MA?FA*e
（2）将CG节点的力与力矩按照相应的权值，分配到各主节点上
各主节点获得的力，Fif?FCGCG
MCG
F2m
FCG F3m
F1m
??i????i???? ???? ??G1,1 WT3 G4,2 CM3 G1,2 C3 -etc.- ?MCG?iriF?加上由力矩MCG产生的力Fim，im???r2??r2??r22233?11RBE3单元的定义卡片如下所示： RBE3 式中
EID G1,3 G3,1 “UM” WT2 G3,2 GM1 GM4 REFGRID C2 -etc.- CM1 CM4 REFC G2,1 WT4 GM2 GM5 WT1 G2,2 C4 CM2 CM5 C1 -etc.- G4,1 GM3 -etc.- EID MPC编号，系统自动产生 REFGRID 参考节点（从节点）号 REFC 参考节点自由度
WTi 参考节点与主节点之间自由度的连接权值 Ci 主节点的自由度
Gi,j 对自由度Ci的主节点号
“UM” 防止系统产生刚体位移等的设置 GMi 防止刚体位移设置的节点
CMi 防止刚体位移设置的节点自由度
RBE3单元应用范围：弯矩施加、不同类型单元之间的连接（如梁-板连接、梁-体连接、板-体连接等）
◆ RBAR 刚性梁单元，两节点之间的刚性连接（注意只限两节点间），即两节点间
6个自由度保持一致。
RBAR单元的定义卡片如下所示： RBAR 式中
EID GA GB CNA CNB CMA CMB EID MPC编号，系统自动产生
GA、GB 定义RBAR单元的两节点号
CAN、CNB 全局坐标系下，两节点GA 、GB的主自由度 CMA、CMB 全局坐标系下，两节点GA 、GB的从自由度 注意：（1）定义RBAR单元时两节点的主自由度必须将该单元约束死，不能有任何刚体位移
（2）调整两节点中的某个自由度，可将“焊接”约束变成“铰接”约束，下图所示的
RBAR单元B节点处连接方式为铰接。
RBAR单元使用范围：焊接、铰接
◆ RBAR1
◆ RROD 刚性杆单元
◆ RSPLINE 内插约束单元，用于 ◆ RTRPLT 刚性三角板单元
◆ RTRPLT1
◆ RJOINT 刚性铰连接单元，铰的每个端点有6个自由度；
（整理中……）