发布时间 : 星期五 文章同济五版线性代数第二章矩阵及其运算更新完毕开始阅读40dbd78280eb6294dc886c1f
海南大学应用数学系《线性代数》教案
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第二章 矩阵及其运算
教学目的：使学生掌握矩阵的概念，了解矩阵概念产生的背景，使学生掌握矩阵的加、减、数乘、乘法、的运算及运算律。
教学重点：矩阵的概念、运算及运算律；矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质 教学难点：矩阵的乘法及其运算律；逆矩阵的概念、性质
教学过程：
第一节 矩阵
1．先给出矩阵的定义 定义： A?(aij)m?n 或Am?n?(aij)m?n （1）
再依次介绍实矩阵、复矩阵、n阶方阵An、行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）、单位矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵Om?n（强调不同阶的零矩阵不同）。
2．实际问题中的矩阵表达（学习矩阵的意义）
例1 5个城市间的单项航线（有向图）可用0，1矩阵表示。
例2 某经济系统有三个企业：煤矿、电厂和铁路。在一年内，企业间的直接消耗系数可用矩阵表示。
例3 某厂有新产品，市场推销策略有S1、S2、S3三种，市场需求情况有大、中、小三种，分别用N1、N2、N3来表示。其效益可用矩阵表示。
例4 n各变量x1,?,xn到m个变量y1,?,ym的线性变换（2）一一对应A?(aij)m?n（2?）；恒等变换对应的矩阵E?(?ij)n?n叫做单位阵；相似变换对应的矩阵A?diag(?1,?,?n)叫做对角阵。 说明可用矩阵来研究线性变换，给定一个线性变换便给定了一个矩阵；给定一个矩阵，便给定了一个线性变换。
第二节 矩阵的运算
一 矩阵的加法、负矩阵、减法 定义：（加法） 见P26。同型矩阵才有加法，加法满足交换律、结合律。 给出负矩阵的定义，并由此定义矩阵的减法。 二 矩阵的数乘（数与矩阵的乘法） 定义：（数乘）见P27。
数乘满足结合律和两个分配律。 三 矩阵与矩阵的乘法
先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。 再给出两个矩阵相乘的定义。 定义：（矩阵的乘法） 见P27。
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特别地，1?s矩阵(ai1,ai2,?,ais)与s?1矩阵(b1j,b2j,?,bsj)T之积是一个数。即AB?C的元素cij就是A的第i行与B的第j列之积。
要掌握矩阵乘法的规律，应该注意以下几点：
（1） 两个矩阵相乘，只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘； （2） C=AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数；
（3） C=AB的(i,j)元等于A的第i行的每个元与B的第j列的对应元乘积之和；
（4） 与数的乘法不同，矩阵乘法不满足交换律，相乘的顺序不能随意颠倒。
举例说明矩阵乘法不满足交换律：?AB有意义，BA未必有意义；?AB与BA都有意义时它们未必是同型的，即使是同型的也未必相等。
由此例还知A?O,B?O时，可以AB?O，即矩阵的乘法不满足消去律。
单位矩阵在矩阵乘法中的作用：EmAm?n?Am?n,Am?nEn?Am?n。
矩阵的乘法 例
0?0??a11?a1n??d1??1??????1 设A?????,B?????,C???
?a??0?0dn??n??n1?ann??????d1a11?d1a1n???1a11??na1n?????则有BA?????,AC?????
?da???a??nn1?dnann??1n1??nann?由此可知：矩阵A左乘对角阵，等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元；矩阵A右乘对角阵C，等于
矩阵A的各列依次乘以C的对角元。
有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的乘幂。设A是n阶方阵，定义
A1?A,A2?AA,A3?A2A,?,Ak?Ak?1A
只有方阵，方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下
(AB)k?AkBk。
矩阵的转置 定义概念：（1）矩阵的转置；（2）对称阵；（3）反对称阵。 矩阵的转置满足四条性质。 总结本次课所讲主要内容 布置作业
第三节 逆矩阵
逆方阵的概念
对从变量x1,x2,?,xn到变量y1,y2,?,yn的线性变换（1.6），利用矩阵的乘法，可以记为 Y?AX （1.7）。 这里A是n阶方阵，如果可由（1.6）解出x1,x2,?,xn，得到唯一的表达式（1.8），那
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么，可以得到一个从y1,y2,?,yn到x1,x2,?,xn的线性变换，称此线性变换为（1.6）的逆变换，（1.8）可记为X?BY （1.9）。
由（1.7）和（1.9）两式得 ??Y?AX?A(BY)?(AB)Y?AB?E???AB?BA?E。 X?BY?B(AX)?(BA)X?BA?E??定义 对A，若?B，使AB?BA?E，则称A可逆，B称为A的逆。 逆阵存在时一定唯一：B?BE?B(AC)?EC?C；记A?1?B。
定义 对于n阶方阵A，如果矩阵A的逆矩阵存在，则称A是可逆的；如果A的逆阵不存在，
则称A是不可逆的。 逆方阵的性质
性质1 如果A可逆，则A有唯一的逆方阵，记为A?1。 性质2 如果矩阵A可逆，且AB?E，则必有BA?E；如果矩阵A可逆，且BA?E，则必有AB?E。 推论：若AB?E或BA?E，则B?A?1。
例2 设n阶矩阵A，B满足A?B?AB，证明A?E可逆。 例3 已知n阶矩阵A满足2A(A?E)?A3，证明E?A可逆。 例4 已知矩阵A满足A2?2A?3E?0，求(A?4E)?1。
性质3 如果n阶方阵A，B都可逆，则AB可逆，并且(AB)?1?B?1A?1。
这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即(A1A2?An)?1?An?1?A2A1。 性质4 如果方阵A可逆，则A?1可逆，而且(A?1)?1?A。
性质5 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。 性质6 如果方阵A可逆，则AT可逆，且(AT)?1?(A?1)T。
结论：n阶方阵A，B满足AB=E的充分必要条件为A，B都可逆，且A?1?B,B?1?A。 例1 （2003
?202???数四）设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位阵，已知AB=2A+B，求(A?E)?1。 B??040?，
?202???例2 设A，B，A+B均为n阶可逆阵，证明
（1）A?1?B?1可逆，且(A?1?B?1)?1?A(A?B)?1B； （2）A(A?B)?1B?B(A?B)?1A。
第四节 分块矩阵
1．分块矩阵的概念
2．分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算
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?分块矩阵的加法：（要求A,B有相同的分块法）； ?分块矩阵的数乘；
?分块矩阵的乘法：Am?l,Bl?n。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致：
Am?l?(Aij)s?t,Bl?n?(Bij)t?r，则AB?(Cij)s?r，其中Cij?T?分块矩阵的转置：A?(Aij)s?r，AT?(Aij)r?s
?Ak?1tikBkj，i?1,2,?,s ,j?1,2,?,r。
3．分块对角矩阵
?A11?O 设Aii为ri阶矩阵（i?1,2,?,s），则矩阵A??????O?0?O??A11??A22?O??????????O?Ass???A22????为分块对角阵。 ??Ass??分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。
?对角阵?m、?n左、右乘Am?n时，相应法则是左乘变行、右乘变列。 如 ???E?00??A11???F???A21A21??A11????A22???FA21A12??，其中FA22??F满秩矩阵，由满秩阵的性质，F可表示成有限个初等矩
阵之积，即FA21是对矩阵A21进行初等行变换的结果。类似地A12F是对矩阵A12进行列变换的结果。 总结本次课所讲主要内容
布置作业
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