发布时间 : 星期五 文章2017年江苏省南通市高考数学二模试卷更新完毕开始阅读40b66efd366baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff11
代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3， 可得a+b≥﹣2，
当a+b＝﹣2时，令t＝sinx+cosx＝
2
sin（x+）∈[﹣，]，
即有sin2x＝t﹣1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3， 可得﹣2bt+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣则△＝9（2+b）+8b（3+2b）≤0，
即为（5b+6）≤0，但（5b+6）≥0，则5b+6＝0，可得b＝﹣，a＝﹣． 而当b＝﹣，a＝﹣时，3a（sinx+cosx）+2bsin2x＝﹣＝﹣
（t+）+3≤3．
22
2
2
2
，]恒成立，
t﹣（t﹣1）
2
所以当a+b取得最小值﹣2，此时a＝﹣．
另解：由a+b取得最小值，故令3（sinx+cosx）＝2sin2x＝λ＜0， 则a+b≥
，即a+b的最小值为
sin（x+
）∈[﹣
2
， ，
]，
t＝sinx+cosx＝
2
sin2x＝t﹣1，则λ＝3t＝2（t﹣1），解得t＝﹣， 则λ＝﹣，此时﹣（a+b）≤3，解得a+b≥﹣2， 即有当a+b＝﹣2时，3at+2（﹣2﹣a）（t﹣1）≤3， 对t∈[﹣
，
2
2
]恒成立，
，
]恒成立，
即2（a+2）t﹣3at﹣2a﹣1≥0对t∈[﹣设f（t）＝2（a+2）t﹣3at﹣2a﹣1，
2
由f（﹣）＝0且为f（t）的最小值，所以只能把f（t）看做t为自变量的函数， 则2（a+2）＞0，解得a＝﹣． 故答案为：﹣．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用赋值法和换元法，考查三角函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，以及审题能力，属于难题．
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＝﹣，
二、解答题（本题共6小题，共计90分） 15．（14分）已知sin（α+求：（1）cosα的值； （2）sin（2α﹣
）的值．
）＝
，α∈（
，π）．
【分析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值； （2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α﹣的值．
【解答】解：（1）sin（α+即sinαcos
2
2
）
）＝，
+cosαsin＝，化简：sinα+cosα＝…①
sinα+cosα＝1…②．
由①②解得cosα＝﹣或cosα＝ ∵α∈（
，π）．
∴cosα＝﹣ （2）∵α∈（∴sinα＝，
那么：cos2α＝1﹣2sinα＝∴sin（2α﹣
）＝sin2αcos
2
，π）．cosα＝﹣
，sin2α＝2sinαcosα＝﹣cos2αsin
＝
．
【点评】本题主要考查了两角和差公式，同角三角函数关系式以及二倍角公式的运用和计算能力．
16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．
求证：（1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．
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【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥BC，即可证明DE∥平面B1BCC1； （2）证明BC⊥平面A1ACC1，即可证明平面A1BC⊥平面A1ACC1． 【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点， ∴DE∥BC，
∵DE?平面B1BCC1，BC?平面B1BCC1， ∴DE∥平面B1BCC1；
（2）∵AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴AA1⊥BC，
∵AC⊥BC，AC∩AA1＝A， ∴BC⊥平面A1ACC1， ∵BC?平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
+
＝1（a＞b＞0）的离心率
为，C为椭圆上位于第一象限内的一点． （1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；
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（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．
【分析】（1）利用抛物线的离心率求得和b的值；
（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x＝my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由
＝
，则直线直线AB的斜
＝，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a
率k＝＝；方法二：由＝
，y2＝2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得
C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率． 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e＝＝
＝，则
＝，①
由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，解得：a＝9，b＝5， ∴a＝3，b＝
，
2
2
，②
（2）方法一：由（1）可知：＝，则椭圆方程：5x+9y＝5a，
222
设直线OC的方程为x＝my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），
，消去x整理得：5my+9y＝5a，
22
2
2
∴y＝
2
，由y2＞0，则y2＝
，
由＝，则AB∥OC，设直线AB的方程为x＝my﹣a，
2
2
则，整理得：（5m+9）y﹣10amy＝0，
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