发布时间 : 星期日 文章第四章习题与复习题详解(线性空间)----高等代数更新完毕开始阅读40919d8fbbf3f90f76c66137ee06eff9aef849ba
?x1??x1??x1???????xx22???C?? , 即 (E?C)?x2??0 （*） ?x3??x3??x3?????x???x???x???4??4??4?
齐次线性方程（*）的一个基础解系为??(0,0,0,1), 通解为X?(0,0,0,k) (k?R)． 故在基（Ⅰ）和基（Ⅱ）下有相同坐标的全体向量为
???0?1?0?2?0?3?k?4?k?4 (k?R).
2.已知?1,?2,?3是 R3 的基,向量组?1,?2,?3 满足?1??3? ?1??2??3,?1??2? ?2??3,?2??3? ?1??3(1)证明 ?1,?2,?3 是R3的基;(2)求由基 ?1,?2,?3 到基?1,?2,?3 的过渡矩阵;(3)求向量 ?? ?1?2?2??3 在基 ?1,?2,?3下的坐标.
解 ( 1 ) 由题有
?110??101?????(?1,?2,?3)?011??(?1,?2,?3)?110?
?101??111??????010???(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)??-1-12?
?100?????0??(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?1?1??20因 11200120012?1??0? 1??2?10?0，所以?1,?2,?3线性无关 . 12故?1,?2,?3是3个线性无关向量，构成R3 的基. (2 ) 因为
?010???(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?-1-12?
?100????010???所以从基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵为?-1-12?
?100????1??010??1??2?????????（?1,?2,?3）2?（?,?,?）-1-122?（?,?,?）(3) ???1?2?2??3?123?123?-5? ???????1??100???1??1??????????2???所以向量?在基?1,?2,?3下的坐标为??5?.
?1????1??2??0??0?????????21003.设R4的两组基?1,?2,?3,?4与?1???,?2???,?3=??，?4???，?0??0??1??2??????????0??0??2??1??2100? ??1100?且由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为??0035???0012??（）求基1?1,?2,?3,?4；（2）求向量?? ?1??2??3?2?4在基?1,?2,?3,?4下的坐标.?2?1解 (1) 因为由基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵为C = ??0??0110000310??0?, 所以5??2?(?1,?2,?3,?4)?(?1,?2,?3,?4)C?1?1?2???0??0210000120??1??0??-12??0??1??0-120000???1??00??1?2-5??0??-13??0300000??00? 01??3?7? 所以
??1??3??0??0?????????1000 ?1???,?2???,?3???,?4???.
?0??0??0??1?????????003????????7??1??1?????11?1 (2 ) Q?? ?1??2??3?2?4?(?1,?2,?3,?4)???(?1,?2,?3,?4)C??
?1??1??????2????2??0???1?(?1,?2,?3,?4)??,
?12?????7?
?0???1 ?向量?? ?1??2??3?2?4在基?1,?2,?3,?4下的坐标为??.
?12????-7?4. 证明f1(x)?1?x?x2,f2(x)?1?x?2x2,f3(x)?1?2x?3x2是线性空间P[x]3的一组基,并求f(x)?6?9x?14x在这组基下的坐标.2
证明 设t1f1(x)?t2f2(x)?t3f3(x)?0,
则有t1(1?x?x2)?t2(1?x?2x2)?t3(1?2x?3x2)?0 ?t1?t2?t3?0?（*） 即?t1?t2?2t3?0?t?2t?3t?023?1111因为系数行列式112??1?0
123所以方程组（*）只有零解. 故f1(x),f2(x),f3(x)线性无关, 构成线性空间P[x]3的一组基. 设f(x)?y1f1(x)?y2f2(x)?y3f3(x) ?y1?y2?y3?6?y1??1?????? 则有?y1?y2?2y3?9??y2???2?
?y?2y?3y?14?y??3?23?1?3???所以f(x)在基f1(x),f2(x),f3(x)下的坐标为（1, 2, 3）. ????5．当a 、b 、c 为何值时，矩阵A = ?????120b?a0???01? 是正交阵.
??c0??解 要使矩阵A为正交阵，应有 AAT?E
??? ??????120b??a0????01????c0??????12a0??10b??a20?100?2?????0c???010? ??01???10???001??b?ac0????2??ac?100?2????0???010?
??001?22???b?c??121. 212b?1????2111?2?a?1?a??a??a???a??222??????b???????ac?0 ? ①?b?1；②?b??1；③?b?1；④?b??222?2?????b2?c2?1????111c??c?c??????c??222?????6．设 ???是n维非零列向量, E为n阶单位阵, 证明:A?E?（2/?T?）??T为正交矩阵. 证明 因为???是n维非零列向量, 所以??T是非零实数.
22??又A??E?T??T??ET?T??T?A,
??????TT22????所以 ATA?AA??E?T??T??E?T??T?
????????
?E2??E4??T??T?4????T2?(?T?)?T?E?4??T??T?4????T2(?T?)??T
故A为正交矩阵．
T（a1,a2,L,an）7．设A?E?2??T, 其中??, 若 ?T? = 1. 证明A为正交阵.
证明 因为A?(E?2??)?E?2(??)?E?2??TTTTTTT?A，所以A为对称阵.
又ATA?(E?2??T)(E?2??T)?E2?4??T?4?(?T?)?T?E, 所以A为正交阵.
8. 设A,B 均为n 阶正交矩阵, 且A??B, 证明A?B?0. 证明 因为A, B 均为n 阶正交矩阵, 所以A?AT?0且
ATA?B?E?ATB?BTB?ATB?BT?AT?BT?（B?A）?B?B?A?B