发布时间 : 星期三 文章教育部课题2011入学高一(3、4)班必修5教学随笔更新完毕开始阅读3f6077da76a20029bd642dec
《1.1.1正弦定理》
一、我们知道在三角形中知道大角对大边，大边对大角，小角对小边，小边对小角。这是从宏观定性角度描述的一个有关三角形的性质。如果从微观定量角度（即要大大多少要小小多少）来分析有什么结论？
答：这就是正弦定理，那正弦定理到底是个什么东西？
二、大自然是和谐美的有秩序的不是杂乱无章的。所以推测对任意三角形都成立。 三、1、问题：正弦定理是很美很漂亮的。正弦定理是三角形大角对大边，大边对大角，小角对小边，小边对小角的一个非常漂亮的精确的描述与认识但还有个担心就是sinA>sinB就能A>B吗？如果不是那这个美好的大自然就是不完美了，被破坏了。
2、幸亏我们发现当A、B是三角形的两个内角时，sinA>sinB推出A>B，我们松了口气
3、我上课总告诉你们，世界是美好的，我想纠正一下，大自然是美好的，人类不美好。这个世界有战争、瘟疫、贫穷、疾病。有强者欺负弱者，有政府欺负百姓。我还是更喜欢大自然对社会一般般。我希望的社会也像大自然一样美好、和谐、漂亮，有正弦定理与余弦定理的美。
1.1.2余弦定理
一、问如果三角形的两条边及其夹角已知，那这个三角形能不能确定？为什么？
答：能，根据三角形全等的判定方法即边角边（SAS）这个三角形大小形状是完全确定的。但这是从宏观定性角度来分析，如果从微观定量（大小到底有多大，形状到底有多形）我们是不知道的。为了解决这个问题，我们必须学习如下知识即余弦定理，余弦定理到底是个什么东西？也就是从微观定量角度对边角边（SAS）做出精确的描述。
二、用向量推导余弦定理
分析：几何法技巧性高，思维不容易发生发展。向量法思维容易发生发展。 1、余弦定理给人一种什么感觉？ 答：和谐对称美。
三、问如果三角形的三边确定，那这个三角形能不能确定？
答：能，根据三角形全等的判定方法即边边边（SSS）这个三角形大小形状都能确定。但这是从宏观定性角度来分析，如果从微观定量角度来分析只剩下三个角的大小是多少不能确定，那如何办？
答：余弦定理的变形就是对这种宏观定性的角度做出精确性的描述，知道三个角到底有多少。余弦定理的变形到底是什么东西？
答：余弦定理的变形就是从微观定量角度对边边边（SSS）这个三角形全等的判定方法做出精确性的描述。
三、大家知道勾股定理吗？在直角三角形是这个结论，那如果是锐角三角形、钝角三角形会是怎样的结论？
这个结论要结合图形，图形如右：
注：1、当Rt⊿ABC变为锐角⊿ABC时，b变长， c变短。当Rt⊿ABC变为钝角三角形时， b变长，c也变长，但c比b多长一点。
2、让直角三角形的直角变大变小，则斜边也变大变小，所以就可以得到结论。
答：余弦定理可以看做勾股定理的推广。
四、例3在⊿ABC中，已知b=60cm，c=34cm,A=41°,解三角形 例4在⊿ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形。 注：目的是熟悉公式。
例5⊿ABC中，如果有性质acosA=bcosB,试问这个三角形的形状具有什么特点？
分析：解题就是思维如何发生发展，思维为什么要这样发生发展。所以一题二解，第一解把边的关系转化为角的关系即a/b=sinA/sinB。第二解把角的关系转化为边的关系，即利用余弦定理的变形。
总结：sin2A=sin2B时，为什么有两答案，可以用具体例子套一下就是sin30°=sin150°比如2A=30°则2B=30°或150°。
总结：余弦定理到底是个什么东西？1、是对三角形全等判定方法边角边即SAS从微观定量角度作出精确性的描述。余弦定理专干这种事。2、它是勾股定理在三角形中的推广。
余弦定理的变形到底是什么东西？1、它是三角形全等判定方法边边边即SSS从微观定理角度作出精确性的分析。
1.2应用举例
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S?absinC, S?bcsinA, S?acsinB. 222为什么有这个角度的三角形面积公式？
答：已知两边和夹角三角形就可以确定了。 例10在⊿ABC中，求证: a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA
分析：几何法与代数法。几何法做高，代数法余弦定理的变形。 例11求半径是R的圆内接正n边形的面积。
例12⊿ABC的三边分别为a、b、c，边BC、CA、AB上的中线分别记为ma、mb、mc，应用余弦定理证明：
ma?1112(b2?c2)?a2,mb?2(a2?c2)?b2,mc?2(a2?b2)?c2. 22222例13在⊿ABC中，求证c(acosB?bcosA)?a?b. 分析：几何法：做边AB上的高。代数法：余弦定理的变形。 例14证明三角形的面积公式
S?12sinBsinCa 2sinA注：为什么有这个角度的三角形面积公式？
答：因为已知三个角与一条边这个三角形就能确定。 例15已知三角形的三边为a、b、c设p?⑴三角形的面积S?1(a?b?c)，求证： 2p(p?a)(p?b)(p?c)
⑵r为三角形的内切圆半径，则
r?(p?a)(p?b)(p?c)
p⑶把BC、CA、AB上的高分别记为ha、hb、hc,则
ha?2ap(p?a)(p?b)(p?c),hb?22p(p?a)(p?b)(p?c),hc?p(p?a)(p?b)(p?c)bc 反思：1、教材讲了三角行的许多面积公式。为什么？这符合我们人类的善良一面的本
性。人类善良一面的本性是什么？我们用世界级的大人物伯特兰?罗素来代表人类善良一面的本性。罗素在《我为何而生》一文中说过,在这个世界上支撑我活下去的动力,便是三种极其单纯然而又强烈的激情：对爱情的渴望、对知识的渴求以及对人类苦难痛彻肺腑的怜悯” 。这里罗素具有的优点人类也具有。在这里对知识的渴求，说明对探询到一个结论是远远满足不了人类好奇心的，人类会继续探询其他结论，有没有结论更简洁、漂亮。三角形面积公式有初中里学习过的1/2底乘高、有高中现在刚学的1/2边乘边乘SIN夹角。还有海伦公式。并且在复习参考题B组第二题：就三角形的面积公式作进一步探讨，你现在已经学习了哪些计算公式，还可发现和证明一些新的计算公式吗？教材为什么要这么安排？原因就是让我们与人类的善良一面的本性产生深刻共鸣。这种本性是隐藏在每个人心底的一种强烈的情感。人类的好奇心是无止境的。
2、在讲海伦公式时，我说，解题要注意宏观把握方向即相当于走路知道该往哪个方向，微观操作细节即路上有没有老虎、大坑、绊脚石。什么意思？我也通过对海伦公式的推导，同学们都理解了。推导海轮公式，思维的发展方向是很明确的即知道该向哪个方向前进，繁就繁在推导细节，运算量很大即路上有老虎、大坑、绊脚石。
当我说治理一所学校、管理一个国家也是这样子时，你们不理解。现在我把它解释的更详细一些。同学们管理一所学校首先是思想上的领导，其次是行政上的领导。什么意思？就是校长有一套治校思想，这种治校思想就是宏观把握学校发展方向，然后把这套治校思想转换成一套操作程序，通过行政领导交给他的手下来执行。手下就是微观操作细节。管理一个国家也一样，国家主席要有一套治国思想，然后在这种治国思想下有一套操作程序，根据这个操作程序总理干什么、副总理干什么、部长干什么。国家主席让手下去做事情。就是微观操作细节是手下在做。头头是宏观把握国家发展方向。但要注意啊，提出一套治校思想与提出一套治国思想能力不在同一个层次。一些资料同学们可以：百度百科:伯特兰?罗素、我为何而生。通过网络，我们可以知道：爱因斯坦说:阅读罗素的作品,是我一生中最快乐的时光。
3、应用题有四难。今天继续讲应用题，同学们对照一下是第几难？ 先不严格的定义什么是应用题。就是用数学知识、方法、思想、数学思维方式解决生产、生活问题。
所以应用题可以分成两部分：背景知识，数学问题。背景知识分社会背景知识、自然背景知识。
应用题第一难：实践操作难，即设计一种测量方法难
应用题第二难：难在我们对背景知识知道太少。背景是有关企业、医学、物理、汽车、建筑物、地理、经济等等。我们在做应用题前要先熟悉这些知识。所以这里有个高原现象，就是熟悉背景知识，我们不熟悉。
应用题第三难:就是把现实生活生产问题抽象为数学模型，能够提炼出数学模型，这种抽象、提炼能力我们不会。
应用题第四难：难在我们对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式不熟练。有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式是我们解答出应用题的基础知识。所以这里有个高原现象我们迈不上去，就是对有关的数学知识、方法、思想、数学思维方式的熟练，但我们不熟练。即抽象出的数学问题难。
1.2举例应用反思
1、求三角形有正弦符号的面积公式，先设计问学生三角形底确定，高确定，三角形能不能确定？
答：三角形不能确定，但面积确定，这顶点在与过顶点与底边平行的直线上运动，这无穷多个三角形面积都一样，是1/2底乘高。
2、这推导出来的第一条三角形有正弦符号的面积公式应当让人觉得有美感，是秩序美和谐美对称美，因为根据这美感可以写出另外两条三角形有正弦符号的面积公式。
对于复习参考题B组第三题的设计
B组第三题:研究一下,是否存在一个三角形具有以下性质: ⑴、三边是连续的三个自然数 ⑵、最大角是最小角的2倍
教学设计：其实有时候成长是一种烦恼，你越成长，抽象思维能力越强，你抽象思维能力越强，你越有可能会设三边是a=n，b=n+1，c=n+2。学生也这么反应。
假如你是小学生，还可能不可能设a=n，b=n+1，c=n+2？学生回答不可能。那小学生是如何研究的？学生回答：先研究三边是1、2、3；再研究三边是2、3、4，再研究三边是3、4、5，再研究三边是4、5、6，一直下去。研究具体、数字的例子多了就发现只有一种情况4、5、6满足。接下去就是一般证明，比较难。
学生回答，平时不这样做题的。所以平时的数学教学歪曲了数学的本来面目。我接下去举了歌德巴赫猜想、费尔马大定理，讲了陈景润、怀尔斯。说数学本来就这样。
三边设错，应当设为a-1，a，a+1。因为给人对称美，减少运算量。 1、例14证明三角形的面积公式
S?12sinBsinCa 2sinA给人什么感觉？
答：和谐美对称美秩序美，所以可以写出另外两条同形式的面积公式。
《§2.1数列的概念与简单表示法》(第1课时)
一、为什么要学习数列？
答：因为现实生活生产实践中我们经常碰到一组按顺序排成一列的数。
二、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列这些概念难吗？ 答：顾名思义就可以了。
三、如果用符号表示数列，你会采取什么符号？既形象又直观。 四、进一步山穷水尽疑无路，退一步海阔天空。说明换个角度看问题，问题会迎刃而解。我们换个角度看是数列，数列是什么？
五、求数列的通项公式在我们小学生时代打过基础是什么？ 答：看图找规律。
六、数列通项公式不唯一相当于人的名字可以有好几个，但指的是同一个人。