发布时间 : 星期日 文章新人教版九年级上册数学[切线长定理—知识点整理及重点题型梳理](提高)更新完毕开始阅读3d83689778563c1ec5da50e2524de518964bd387
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新人教版九年级上册初中数学
重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习
切线长定理—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
【要点梳理】
要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释：
切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
要点二、切线长定理 1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 3．圆外切四边形的性质：
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圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即
(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别： 名称 外心(三角形外接圆的圆心) 内心(三角形内切圆的圆心)
【典型例题】
三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 确定方法 三角形三边中垂线的交点 图形 性质 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 类型一、切线长定理
1. 如图，等腰三角形ABC中，AC?BC?6，AB?8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF?AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．求证：直线EF是⊙O的切线.
AFDGEBOC
【答案与解析】
如图，连结OD、CD，则?BDC?90?．
∴CD?AB． ∵ AC?BC，∴AD?BD． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点，
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∴DO∥AC． ∵EF?AC于F． ∴EF?DO．
∴EF是⊙O的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.
举一反三：
【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．
求证：BC和⊙O相切．
【答案】
作OE⊥BC，垂足为E， ∵ AB∥DC，∠B=90°， ∴ OE∥AB∥DC， ∵ OA=OD， ∴ EB=EC，
∴ BC是⊙O的切线．
2. 已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，
求证：DC是⊙O的切线．
【答案与解析】
连接OD．
∵ OA=OD，∴∠1=∠2．
∵ AD∥OC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．
又∵ OB=OD，OC=OC，∴ △OBC≌△ODC． ∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴ DC是⊙O的切线．
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【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O有公
共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．
举一反三：
【 356967 ：练习题精讲】
【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，
设AD=x，
⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；
⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．
M M
C
B
． A A D E N O O D E N
图（1）
图（2）
【答案】
（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；
在△AOB中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD， 即AD=2．x=AD=2.
（2）过O点作OG⊥AM于G
∵OB=OC=2，∠BOC=90°，
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