发布时间 : 星期四 文章2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组c卷）更新完毕开始阅读3c64e4585afafab069dc5022aaea998fcc2240e1
【解答】解：因为：
树根成一条直线，树顶也成一条直线，∠A＝45°，最高的小树高2.8米，最低的小树高峰1.4米，
所以AC＝2.8米，AB＝1.4米，BC＝AC﹣AB＝1.4米， 又因为：这排树的间距相同， 所以：
1.4÷7＝0.2（米） 0.2×4+1.4 ＝0.8+1.4 ＝2.2（米）
答：那么从左向右数第4棵树的高度是2.2米． 故选：C．
3．春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、丙、丁4位同学有如下对话：
甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款” 乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款” 丙：“你们3人之中至少有2人捐了款” 丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”
已知这4位同学说的都是真话且其中恰有2位同学捐了款，那么这2位同学是（ ） A．甲，乙
B．丙，丁
C．甲，丙
D．乙，丁
【分析】因为有2位同学捐了款，所以根据：
丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；
甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；
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这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的． 据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得：
丙：“你们3人之中至少有2人捐了款，说明捐款的只能是甲乙丁中的两个人，而丙没捐钱；
甲：“丙，丁之中至少有1人捐了款”因为丙没捐钱，所以只能是丁捐款； 乙：“丁，甲之中至多有1人捐了款”只能是丁，所以甲没捐款；
这恰好印证了丁：“你们3人之中至多有2人捐了款”是正确的，只有乙和丁捐了款． 故选：D．
4．六位同学数学考试的平均成绩是92.5分，他们的成绩是互不相同的整数，最高的99分，最低的76分，那么按分数从高到低居第3位的同学的分数至少是（ ） A．94
B．95
C．96
D．97
【分析】要求第三名同学至少要考多少分，知道六名同学的总平均分，能求出总成绩，用总成绩﹣最高分﹣最低分＝另四名同学的总成绩，要想第3个同学成绩最小，则第2个同学成绩取最大值为：98，进而求出另三位同学的总成绩，进而根据“总成绩÷总人数＝平均分”能求出另三名同学的平均分，继而分析、推导得出所求问题的答案． 【解答】解：92.5×6﹣99﹣76＝380（分），
由于最高分是99分，所以第二个的最好成绩最多是：98 剩余三人成绩和为：380﹣98＝282（分），
第3个同学成绩最小，第4、5个同学的成绩尽可能接近第三个同学的成绩，则这3个数相差为1， 282÷3＝94（分），
则第三位同学至少是：94+1＝95（分）． 答：第三名至少得95分． 故选：B．
5．如图，BH是直角梯形ABCD的高，E为梯形对角线AC上一点，如果△DEH、△BEH、△BCH的面积依次为56、50、40，那么△CEH的面积是（ ）
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A．32
B．34
C．35
D．36
【分析】如下图所示：分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD，由等底等高的三角形面积相等，可得S△BDF＝S△ADF，S△ADC＝S△BDC，因此有：S△CDE＝S△ADC﹣S
△ADE
＝S△BDC﹣S△BDF＝S△BFC，而S△BFC＝S△BFH+S△BCH＝S△BEH+S△BCH＝90；因此S△CHE
＝S△EDC﹣S△HDE＝90﹣56＝34，据此即可解决．
【解答】解：如上图所示，分别过点E作EF⊥DC，EG⊥BH，连接AF，BF，BD， 则S△BDF＝S△ADF，S△ADC＝S△BDC，
所以S△CDE＝S△ADC﹣S△ADE＝S△BDC﹣S△BDF＝S△BFC， 又因为S△BFC＝S△BFH+S△BCH＝S△BEH+S△BCH＝90， 所以S△CHE＝S△EDC﹣S△HDE＝90﹣56＝34． 故选：B．
6．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，即得出答案．
【解答】
解：①假设n＝5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同．不妨设前3格为黑色（如图1）．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形，若其中有一
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个中有2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3×1的长方形中，每个至多1个黑格．
②假设这4个横着的3×1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而3×1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．
所以，n＜5，正整数n的最大值是4．而图6给出了n＝4的一种构造． 故选：B．
二、填空题：（每小题10分，满分40分）
7．在每个格子中填入1﹣6中的一个，使得每行、每列及每个2×3长方形内（粗线框围成）数字不重复；如果小圆圈两边格子中所填数的和是合数，其它相邻两格所填数的和是质数，那么四位数“相约华杯”是 4123 ．
【分析】如图：
因为第三行存在1、3、4，所以A为2，5，6之一，而3与A的和是质数，所以A为2．在A所在的长方形中，还剩下1、4、5、6没有使用．而3与“相”的和是质数，所以“相”是4．“相”与“约”的和为质数，“约”为1，“约”与“月”的和为质数，“月”为6，剩下的C为5．第三行只剩下数字5，所以B为5；在B所在的长方形中，还剩下2、3、6没有使用．而4与“杯”的和是质数，所以“杯”为3，“杯”与”“华”的和为质数，所以“华”为2，剩下的D就是6；所以四位数“相约华杯”是4123，据此解答即可．
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