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一轮复习: 一元二次不等式及其解法
[最新考纲]
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
知 识 梳 理
1.一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0). (2)计算相应的判别式.
(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=b-2a ?b??x|x≠-? 2a??Δ>0 Δ=0 Δ<0 没有实数根 {x|x>x2或x<x1} R {x|x1<x<x2} 辨 析 感 悟 ? ? 1.对一元二次不等式的解法的理解
(1)(2013·广东卷改编)不等式x2+x-2<0的解集为-2<x<1.(×)
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(√)
(3)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.(√)
(4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(×)
2.对一元二次不等式恒成立问题的认识
(5)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(×) 1
(6)若关于x的不等式ax+x-1≤0的解集为R,则a≤-4.(√)
2
1?5?
(7)若不等式x2+ax+1≥0对x∈?0,2?恒成立,则a的最小值为-2.(√)
??[感悟·提升]
三个防范 一是当Δ<0时,不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是?,要注意区别,如(4)中当a>0时,解集为R;当a<0时,解集为?.
二是对于不等式ax2+bx+c>0求解时不要忘记讨论a=0时的情形,如(5)中当a=b=0,c≤0时,不等式ax2+bx+c≤0在R上也是恒成立的.
三是解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨
论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏.
考点一 一元二次不等式的解法
【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是
( ).
3??1??
-∞,-,+∞??? A.?∪2??2??
?31?B.?-2,2? ??
1??3??C.?-∞,-2?∪?2,+∞? ?????13?D.?-2,2? ??
解析 由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3),∴a<0.且1-ab??a=2,?b?-?a=-3,
1
解得a=-1或3,
∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3, ∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0, 13
解得x>2或x<-2,故选A. 答案 A
规律方法 解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
学生用书第97页 【训练1】 (2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________. 解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,
又当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=x2+4x. 又f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-x2-4x(x<0),
?
∴f(x)=?0,x=0,
??-x2-4x,x<0.
2x?-4x,x>0,
(1)当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5; (2)当x=0时,f(x)>x无解;
(3)当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0. 综上得不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞). 答案 (-5,0)∪(5,+∞)
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 (2013·烟台期末)解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
2?2?②当a>0时,原不等式化为?x-a?(x+1)≥0,解得x≥a或x≤-1.
???2?③当a<0时,原不等式化为?x-a?(x+1)≤0.
??22
当a>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤a; 2
当a=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意; 22
当<-1,即a>-2,解得≤x≤-1. aa
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集
???2
为?x?x≥a,或x≤-1???
??
?;当-2<a<0?????2
时,不等式的解集为?x?a≤x≤-1
???
??
?;当??
a=-2时,不等式的解集为{x|x=-1};当a<-2时,不等式的解集为
???2
?x?-1≤x≤
a???
???. ??
规律方法 解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据