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平面向量
平面向量的基本概念
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别，二个要素：大小、方向。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 向量的表示方法： ① 用有向线段表示； ② 用字母ａ、ｂ等表示；
③ 用有向线段的起点与终点字母：AB；
④ 向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|. 例如：=（-1,3）
a|a|=√(1+9)=√10
2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)； ?|AB|4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：
a∥b，规定零向量和任何向量平行。
提醒：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0)；
AC共线； ④三点A、B、C共线?AB、6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如
基本练习：
1．下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力
OB、CO、OD是 （ ） 2.设O是正方形ABCD的中心，向量AO、A．平行向量 B．有相同终点的向量 C．相等向量 D．模相等的向量 3.在下列说法中，正确的是 （ ） A．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同; B．模为0的向量与任一非零向量平行; C．向量就是有向线段; D．若|a|=|b|，则a=b
4.下列各说法中，其中错误的个数为 （ ） （1）向量AB的长度与向量BA的长度相等;（2）两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5.如图，O是正方形ABCD的对角线的交点，四边形OAED、OCFB是正方形，在图中所示的向量中，
BA（1）与AO相等的向量有_________________________；
（2）与AO共线的向量有_________________________；
EF（3）与AO模相等的向量有_______________________；
O（4）向量AO与CO是否相等？答：_______________．
DC6.O是正六边形ABCDEF的中心，且AO?a，OB?b，AB?c，ED在以A、B、C、D、E、F、O为端点的向量中： （1）与a相等的向量有 ；
FC（2）与b相等的向量有 ； O（3）与c相等的向量有 ．
AB7.在如图所示的向量a、b、c、d、e中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？
模相等的向量？若存在，请一一举出． bd aec
8.某人从A点出发向西走了200m达到B点，然后改变方向向西偏北600走了450m到达C
点，最后又改变方向向东走了200m到达D点 （1）作出向量AB、BC、CD（1cm表示200m）； （2）求DA的模．
9.如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的
模？有多少种不同的方向？
10.下列说法中正确是_______________（写序号）
（1）若a与b是平行向量，则a与b方向相同或相反； （2）若AB与CD共线，则点A、B、C、D共线； （3）四边形ABCD为平行四边形，则AB=CD； （4）若a = b，b = c，则a = c ；
（5）四边形ABCD中，AB?DC且|AB|?|AD|，则四边形ABCD为正方形； （6）a与b方向相同且|a| = |b|与a = b是一致的；
平面向量的线性运算
向量的加（减）法：求两向量和（差）的运算叫向量的加（减）法运算
② 三角形法则：向量AB与BC相加时，AB的终点B作为BC的起点，这时起点A到终点 C
AB?BC?AC. 这种求向量和的方法叫三角形法则.
（AB?AC?CB） a+b b
A a B C的向量AC就是这两个向量的和向量，即
（注意：两个向量要“首尾”相接）
③平行四边形法则：由同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的向量AC就是向量a，b的和. 这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则，如右图：
向量加法的交换律：a+b=b+a
9．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
10．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0
??????????????????11．运算定律 λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb ??12． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，??使b=λa
13．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
基本练习：
1.化简PM?PN?MN所得的结果是 （ ） A．MP B．NP C．0 D．MN
2.化简PM?PN?MN所得的结果是 （ ） A．MP B．NP C．0 D．MN 3.下面给出四个命题：
① 对于实数m和向量a、b恒有：m(a?b)?ma?mb ② 对于实数m、n和向量a，恒有(m?n)a?ma?na
???③ 若ma?mb(m?R)，则有a?b ④ 若ma?na(m,n?R,a?0)，则m?n
其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
4.设OA?a，OB?b且|a|=| b|=6，∠AOB=120?，则|a－b|等于 （ ） A．36 B．12 C．6
D．63
5.已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC?a，CA?b，AB?c，则下列各式：①EF?111c?b；②BE?a?b；③222A11CF??a?b；④AD?BE?CF?0 ．其中正确的
22等式的个数为
6.如图，D、E、F是?ABC的边AB、BC、CA的中点， 则AF?DB=
OB、OC表示7.如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA、OD．
BDFEC
8.化简：(AB?CD)?(AC?BD)= ．
9.已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点． 求证：EF?OADBC1(AB?BC) 2
10.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知
AB=a,AD=b,试用a，b表示BC和MN．