发布时间 : 星期一 文章2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 教师版 - 图文更新完毕开始阅读3ae46d48ad02de80d4d840c3
截得的线段长为43. 3(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. ????????????????若AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.
【答案】
3x2y241．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率
2abe=1,直线l的方程为x=4. 2(1) 求椭圆C的方程;
(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记
PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得,
3219??1 ① a24b2依题设知a?2c,则b?3c ② ②代入①解得c2?1,a2?4,b2?3.
22x2y2??1. 故椭圆C的方程为43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③
代入椭圆方程3x2?4y2?12并整理,得(4k2?3)x2?8k2x?4(k2?3)?0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
8k24(k2?3) ④ x1?x2?2,x1x2?4k?34k2?3在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k).
333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有
y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23 ⑤ ?2k??2x1x2?(x1?x2)?18k2?2234k?3④代入⑤得k1?k2?2k???2k?1, 28k224(k?3)??14k2?34k2?31又k3?k?,所以k1?k2?2k3.故存在常数??2符合题意.
2方法二:设B(x0,y0)(x0?1),则直线FB的方程为:y?y0(x?1), x0?1令x?4,求得M(4,3y0), x0?12y0?x0?1,
2(x0?1)从而直线PM的斜率为k3?y0?y?(x?1)?x?15x?83y0?0,), 联立? ,得A(0222x0?52x0?5?x?y?1?3?4则直线PA的斜率为:k1?2y0?2x0?52y0?3,直线PB的斜率为:k2?,
2(x0?1)2(x0?1)所以k1?k2?2y0?2x0?52y0?32y0?x0?1???2k3,
2(x0?1)2(x0?1)x0?1故存在常数??2符合题意.
42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x232.设P为直2?4cy,由0?c?22?32结合c?0,解2得c?1.
所以抛物线C的方程为x2?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?设A?x1,y1?,B?x2,y2?121x,求导得y??x 42x12x22,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为4411x1,x2, 22x1x1x12x??y1,即所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222x1x?2y?2y1?0
同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0. (Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1