发布时间 : 星期五 文章2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 教师版 - 图文更新完毕开始阅读3ae46d48ad02de80d4d840c3
直线y?kx与C2有交点,则
?y?kx1222k?,若方程组有解,则必须 ?(1?2k)x?2?222?x?2y?2故直线y?kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆x?y?221内一点的直线l若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 2根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t,t?1)(t?0),则
l:y?(t?1)?k(x?t)?kx?y?(1?t?kt)?0
直线l与圆x?y?化简得,(1?t?tk)?2221|1?t?kt|2内部有交点,故 ?222k?112(k?1)............① 2若直线l与曲线C1有交点,则
?y?kx?kt?t?112?22?(k?)x?2k(1?t?kt)x?(1?t?kt)?1?0 ?x222?y?1??21??4k2(1?t?kt)2?4(k2?)[(1?t?kt)2?1]?0?(1?t?kt)2?2(k2?1)
2化简得,(1?t?kt)2?2(k2?1).....②
12(k?1)?k2?1 2122但此时,因为t?0,[1?t(1?k)]?1,(k?1)?1,即①式不成立;
212当k?时,①式也不成立
2122综上,直线l若与圆x?y?内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
2122即圆x?y?内的点都不是“C1-C2型点” .
2由①②得,2(k?1)?(1?t?tk)?2234．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方形
OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,....A9和B1,B2,....B9,连结OBi,过Ai做x轴的垂线
*与OBi交于点Pi(i?N,1?i?9).
*(1)求证:点Pi(i?N,1?i?9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
(2)过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N,若?OCM与?OCN的面积比为
4:1,求直线的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,过Ai(i?N*,1?i?9)且与x轴垂直的直线方程为x?i ix 10?Bi(10,i),?直线OBi的方程为y??x?i12?y?x,即x2?10y, 设Pi坐标为(x,y),由?得:i10y?x?10??Pi(i?N*,1?i?9)都在同一条抛物线上,且抛物线E方程为x2?10y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为y?kx?10 由??y?kx?102得x?10kx?100?0 2?x?10y2此时??100k+400?0,直线与抛物线E恒有两个不同的交点M,N 设:M(x1,y1)N(x2,y2),则??x1?x2?10k
?x1?x2??100?S?OCM?4S?OCN?x1?4x2
又?x1?x2?0,?x1??4x2 分别带入??y?kx?103k??,解得 22?x?10y直线的方程为y??3x+10,即3x?2y?20?0或3x+2y?20?0 2235．（2013年高考湖南卷（理））过抛物线E:x?2py(p?0)的焦点F作斜率分别为
k1,k2的两条不同的直线l1,l2,且k1?k2?2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D.
以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.
?????????2(I)若k1?0,k2?0,证明;FM?FN?2P;
(II)若点M到直线l的距离的最小值为75,求抛物线E的方程. 5】
【答案解: (Ⅰ)
pF(0,).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),M(x12,y12),N(x34,y34)，
2p直线l1方程：y?k1x?,与抛物线E方程联立，化简整理得：?x2?2pk1x?p2?02
?x1?x2?2k1p,x1?x2??p2?0?x12?同理,?x34?x1?x2p22?k1p,y12?k1p??FM?(k1p,?k1p)22x1?x2p22?k2p,y34?k2p??FN?(k2p,?k2p). 2222?FM?FN?k1k2p2?k1k2p2?p2k1k2(k1k2?1)
?k1?0,k2?0,k1?k2,2?k1?k2?2k1k2?k1k2?1,?FM?FN?p2k1k2(k1k2?1)?p2?1?(1?1)?2p所以,FM?FN?2p2成立. (证毕) (Ⅱ)
1pp1p22设圆M、N的半径分别为r1,r2?r1?[(?y1)?(?y2)]?[p?2(k1p?)]?k1p?p,22222
?r1?k1p?p,同理2r1?k2p?p,
设圆M、N的半径分别为r1,r2.则M、N的方程分别为(x?x12)2?(y?y12)2?r1,
(x?x34)2?(y?y34)2?r2，直线l的方程为：22222(x34?x12)x?2(y34?y12)y?x12?x34?y12?y34-r1?r2?0.
?2p(k2?k1)x?2p(k2?k1)y?(x12?x34)(x12?x34)?(y12?y34)(y12?y34)?(r2-r1)(r2?r1)?0
222222222222222222?2p(k2?k1)x?2p(k2?k1)y?2p2(k1?k2)?p2(k1?k2)(k1?k2?1)?p2(k2?k1)(k1?k2?2?x?2y?p?p(k1?k2?1)?p(k1?k2?2)?0?x?2y?0
2222112(?)2?(?)?1x?2y122k?k1?17p744点M(x12,y12)到直线l的距离d?|12|?p?|1|?p???55558552?p?8?抛物线的方程为x2?16y.
36．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,点
x2y2P(0,?1)是椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆
abC2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D
(1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.
ylDOPA（第21题
Bxl
x2?y2?1; 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到b?1,且2a?4?a?2,所以椭圆的方程是4(Ⅱ)因为直线l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0,直线
l2:y??1x?1?x?ky?k?0k,所以圆心
(0,0)到直线
l1:?yk?1x?d?的距离为k?1x?0y?11?k2,所以直线l1被圆x2?y2?4所