发布时间 : 星期四 文章2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 教师版 - 图文更新完毕开始阅读3ae46d48ad02de80d4d840c3
故直线l的方程为x?7y?1?0或x?7y?1?0.
x2y231．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为
ab41F1(?1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,).
33(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且
211??,求点Q的轨迹方程.
|AQ|2|AM|2|AN|2
?4??1??4??1?【答案】解:2a?PF1?PF2???1???????1?????22
?3??3??3??3?所以,a?22222.
又由已知,c?1, 所以椭圆C的离心率e?c12 ??a22x2????由???知椭圆C的方程为?y2?1.
2设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于?0,1?,?0,?1?两点,此时Q点坐标为
?35?0,2? ????5??(2) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y?kx?2.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1?2),(x2,kx2?2),则
AM?(1?k2)x12,AN?(1?k2)x22. 又AQ?x2??y?2??(1?k2)x2.
由
22222AQ2?1AM2?1AN2,得
211,即 ??222222?1?k?x?1?k?x1?1?k?x2211?x1?x2??2x1x2 ① ???22222xx1x2x1x2x2?y2?1中,得 将y?kx?2代入22?2k2?1?x2?8kx?6?0 ②
22由???8k??4?2k?1?6?0,得k???23. 28k6,xx?, 122k2?12k2?1182代入①中并化简,得x? ③ 210k?3由②可知x1?x2??x2上,所以k?因为点Q在直线y?k?10?y?2??3x2?18.
由③及k?22y?2,代入③中并化简,得x?336??6?2,0?0,,可知0?x?,即x???. ???????22?2??2???66?35?2210y?2??3x?18,故x???又?0,2???2,2??. ??满足?5????由题意,Q?x,y?在椭圆C内部,所以?1?y?1,
2又由10?y?2??18?3x有
2?135??99?,2??y?2???,?且?1?y?1,则y???. ?2554????2所以点
Q的轨迹方程是
10?y?2??3x2?182,其
??166?35?中,x????2,2??,y???2,2?5?
????32．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆
x2y23,过FC:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为1且垂直于xab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明
11?为定值,并求出这个定值. kk1kk2
x2y2b2?2?1y??2222c?a?ba b【答案】解:(Ⅰ)由于,将x??c代入椭圆方程a得c2b23e???12a2 由题意知a,即a?2b 又
x2?y2?1所以a?2,b?1 所以椭圆方程为4
??????????????????????????????????????PF1?PMPF2?PMPF1?PMPF2?PM?????=??????????,????=?????,设P(x0,y0)其中(Ⅱ)由题意可知:????|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|2232x0?4,将向量坐标代入并化简得:m(4x0?4, ?16)?3x0?12x0,因为x0所以m?333x0,而x0?(?2,2),所以m?(?,) 422(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:
x0xy0y0x11?y0y?1,所以k??0,而k1?,代入中得 ,k2??44y0kk1kk2x?3x?3x?3x0?311???4(0?)??8为定值. kk1kk2x0x0
x2?y2?1,曲线33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线C1:2C2:|y|?|x|?1,P是平面上一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为
“C1—C2型点”.
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y?kx与C2有公共点,求证|k|?1,进而证明原点不是“C1—C2型点”; (3)求证:圆x?y?221内的点都不是“C1—C2型点”. 2
【答案】:(1)C1的左焦点为F(?3,0),过F的直线x??3与C1交于(?3,?2),2与C2交于(?3,?(3?1)),故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为x??3; (2)直线y?kx与C2有交点,则
?y?kx?(|k|?1)|x|?1,若方程组有解,则必须|k|?1; ??|y|?|x|?1