发布时间 : 星期四 文章高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结更新完毕开始阅读3ab85d4e1711cc7931b716e0
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数
y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?f(x)的图象联系起来，○
并利用函数的性质找出零点．
4、基本初等函数的零点：
①正比例函数y?kx(k?0)仅有一个零点。
k(k?0)没有零点。 x③一次函数y?kx?b(k?0)仅有一个零点。
②反比例函数y?④二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．
（1）△＞０，方程ax2?bx?c?0(a?0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程ax2?bx?c?0(a?0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程ax2?bx?c?0(a?0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
⑤指数函数y?a(a?0,且a?1)没有零点。 ⑥对数函数y?logax(a?0,且a?1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y?x，当n?0时，仅有一个零点0，当n?0时，没有零点。
5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把f?x?转化成，这另f?x??0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数f?x?零点的个数。
6、选择题判断区间?a,b?上是否含有零点，只需满足f?a?f?b??0。 Eg：试判断方程x?x?2x?1?0在区间[0,2]内是否有实数解？并说明理由。
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42x?7、确定零点在某区间?a,b?个数是唯一的条件是:①f?x?在区间上连续，且f?a?f?b??0②在区间?a,b?上单调。 Eg：求函数f(x)?2x?lg(x?1)?2的零点个数。
8、函数零点的性质：
从“数”的角度看：即是使f(x)?0的实数；
从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点； 若函数f(x)的图象在x?x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
Eg：一元二次方程根的分布讨论
一元二次方程根的分布的基本类型
2ax?bx?c?0（a?0）的两实根为x1，x2，且x1?x2. 设一元二次方程
k为常数，则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）或根在区间上的
分布主要有以下基本类型：
表一：（两根与0的大小比较）
分布情况两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0?x1?0,x2?0? ?x1?0,x2?0? ?x1?0?x2? a?0） 大致图象（得出的结论???0?b??0???2a??f?0??0 ???0?b??0???2a??f?0??0 f?0??0
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大致图象（a?0） 得出的结论???0?b??0???2a??f?0??0 ???0?b??0???2a??a?f?0??0 ???0?b??0???2a??f?0??0 ???0?b??0???2a??a?f?0??0 f?0??0 （不综讨合论结a论）
a?f?0??0 表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即 两根都大于k即 一个根小于k，一个大于k即x1?k,x2?k x1?k,x2?k x1?k?x2 a?0） 大致图象（kkk得出的结论???0?b??k???2a??f?k??0 ???0?b??k???2a??f?k??0 f?k??0 3
大致图象（a?0） 得出的结论???0?b??k??2a???f?k??0 ???0?b???k??2a??a?f?k??0 ???0?b??k??2a???f?k??0 ???0?b???k??2a??a?f?k??0 f?k??0 （不综讨合论结a论） a?0） a?f?k??0 分布情况大致图象（ 得出的结论 表三：（根在区间上的分布）
两根都在?m,n?内 两根有且仅有一根在?m,n?一根在?m,n?内，另一根在?p,q?内（有两种情况，只画了一种） 内，m?n?p?q ???0??f?m??0??f?n??0?b?m???n2a?? f?m??f?n??0 ?f?m??0??f?n??0??f?m?f?n??0?f?p??0??f?q??0?f?p?f?q??0???或
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