发布时间 : 星期一 文章(江苏共享版 )新2020-2020学年高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4【下载】更新完毕开始阅读3a3a5ac7571810a6f524ccbff121dd36a32dc430
最新人教版小学试题 4.1.2 极坐标系
1．了解极坐标系．
2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．
3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．
[基础·初探]
1．极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线
Ox称为极轴．
(2)设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．
ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．
(3)如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以看成点M的极坐标．
2．极坐标与直角坐标的互化
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)可以互化，公
??x＝ρcos θ，式是：?
?y＝ρsin θ；?
ρ＝x＋y，??
或?ytan θ＝x≠0.?x?
222
图4-1-3
通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.
[思考·探究]
部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 1．建立极坐标系需要哪几个要素？
【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．
2．为什么点的极坐标不惟一？
【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．
3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？
【提示】 由ρ＝x＋y求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝(x≠0)确定θ时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角．当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定．当x＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；(2)当 xπ3π
＝0，y＞0时，可取θ＝；(3)当x＝0，y＜0时，可取θ＝.
22
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________
2
2
2
yxyx
极坐标系中点的坐标 写出图4-1-4中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
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图4-1-4
【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标
?π??3π??7π??7π??3π?为A?7，?，B?4，?，C?5，?，D?6，?，E(9，0)，F(3，π)，G?9，?.
6??4?6??4?2????
[再练一题]
1．已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．
【导学号：98990003】
【解】 以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：
C(a,0)，D(a，)，E(a，
π或C(a,0)，D(a，)，
3
π32π45)，F(a，π)，A(a，π)，B(a，π) 333
E(a，
2π2ππ
)，F(a，π)，A(a，－)，B(a，－). 333
极坐标的对称性 π 在极坐标系中，求与点M(3，－)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．
3【自主解答】 极坐标系中点M(ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M′(ρ，2kπ－θ)(kπ
∈Z)，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2kπ＋)(k∈Z)．
3
[再练一题]
部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 ?π?2．在极坐标系中，点A的极坐标为?3，?(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．
6??
(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A关于极点对称的点的极坐标是________． π
(3)点A关于直线θ＝对称的点的极坐标是________．
2【解析】 通过作图如图可求解为
11π7π5π
【答案】 (1)(3，) (2)(3，) (3)(3，)
666
极坐标与直角坐标的互化 ?2π? (1)把点M的极坐标?8，?化成直角坐标；
3??
(2)把点P的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 【自主解答】 (1)x＝8cos4,43)．
(2)ρ＝
6
2
2π2π＝－4，y＝8sin＝43，因此，点M的直角坐标是(－33
＋－2
2
＝22，
－23
tan θ＝＝－，
36
11π11π
又因为点P在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝.因此，点P的极坐标为(22，)．
66[再练一题]
3．(1)把点A的极坐标(2，
7π
)化成直角坐标； 6
(2)把点P的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 7π
【解】 (1)x＝2cos ＝－3，
6
y＝2sin
7π
＝－1， 6
故点A的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝1＋－3
2
2
－3
＝2，tan θ＝＝－3.
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