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鱼群再生产曲线及最大可持续捕获量
一、摘要
本文基于对鱼群再生产以及捕捞的可持续性假设，通过对鱼群生长以及捕捞规律的分析研究，利用微分——差分和数据拟合建立了鱼群生态系统的预测模型。
针对鱼群的再生产情况，我们分别对无阻滞增长和阻滞增长进行分析比较。我们定义自然增长率r，鱼的均重M，对于无阻滞增长y?ert，可知鱼群的再生产与时间成正比无限增长，该模型不符合现实。针对阻滞增长模型，我们又假设
dyydy?ry(1?)作出其最大环境容纳量N，根据与t的图像，再根据dtNdty(t)?1?(Nx?1)e -rtN, 用数值拟合方法得出S形曲线。原题的要求以一年为周期计
算鱼群的再生产曲线，因此我们用周期作为时间段来研究鱼群的增长规律比用连
dyy?ry(1?)转化为差分方程并得到y?bx(1?x)。由图可知，续时间方便。将dtN鱼群第二年的产量围绕x?N上下波动。
针对鱼群的可持续捕捞情况，我们分别对固定量捕捞和固定努力量捕捞进行分析比较。针对固定量捕捞，定义固定捕捞量H，在题一的基础上，建立函数关系式y?bx(1?x)?H并得出图像，观察图像可知固定量捕捞难以达到最大量和持续捕捞的平衡。对固定努力量捕捞，定义了捕捞强度系数E,建立函数关系式
y?bx(1?x)?Ex，用数值拟合的方法作出y?bx(1?x)与y?Ex的图像，找出一
个合适的捕捞率，并在此捕捞率的基础上找出最适鱼群数量。当y?Ex与
y?bx(1?x)交于顶点时，达到最大持续产量，此时的稳定平衡点为x?N，即2N，可获得最大持续捕获量。 2综上所述，我们认为我们建立的数学模型易于操作，对实践有着较好的指导意义。
将捕捞后的鱼群产量控制在x?关键词：再生产 微分——差分 S形曲线 抛物线 最大持续捕获量 阻滞增长模型
二、问题重述
鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y公斤。反映x与y之间相互关系的曲线称为再生产曲线，记为y?f(x)。
(1) 请找出鱼群的再生产曲线.
(2) 为使鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量.
三、模型假设及说明
假设：
1、 鱼群总数的增长虽然是离散的，但对于大规模的鱼群而言，可设鱼群总量的变化是连续的； 2、 鱼群无迁入迁出现象，处于一个相对封闭的环境中，鱼群的初始规模是已知的，即原题中的x；
3、 群体中的每个个体都具有相同的死亡和繁殖机会，所以在考查种群的群体增长规模时，排除个体差异具有一定的合理性；
4、 在t时刻单位时间内，鱼群的自然增长率为r，且不会随时间推移而变化；
5、 t时刻种群的总数为y(t)，种群规模较大，可视y(t)为的连续可微函数，初始时刻规模为x，即y(0)?x；
6、 忽略鱼群个体差异，假设鱼群个体均重为M； 7、 根据渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前8个月内进行捕捞作业，我们假设捕捞在产卵孵化期前8个月内进行，而在繁殖期9-12月内禁止捕捞；
8、 每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间内捕捞量即E将与鱼群条数成正比，可以用比如捕鱼网眼的大小或出海渔船数量来控制其大小；
9、 鱼群是均匀分布。
10、假设在我们的预测期内，不会发生大的自然灾害等。
四、符号说明
符号 x y(t) N M 符号说明 现有鱼群公斤数 某时刻的鱼群公斤数 最大环境容纳量 鱼群个体均重
t b r H q h(t) E 时间 b?r?1 鱼群的自然增长率 固定捕捞量 可捕系数 捕捞条数 捕捞强度系数 五、问题1
1、问题的分析：
问题要求经过一年的成长与繁殖，建立起反映x与y之间相互关系的曲线称为再生产曲线y?f(x)。根据假设鱼群数量随时间是连续变化的，分别对无阻滞增长和阻滞增长建立微分方程模型，求解出鱼群公斤总数随时间的变化关系，再dyx?rx(1?)转化为差分方程y?bx(1?x)得出再生产曲线y?f(x)。 由dtN2、模型的建立与求解
2.1 无阻滞增长模型
在鱼群的成长过程中，考虑t到t??t这段时间内种群数目的变化情况，不受外界影响，总数增加了y(t??t)-y(t)公斤，于是有：
y(t??t)-y(t)?ry(t)/M?t*M
即 y(t??t)-y(t)? ry(t)/M?t*M （2-1） 我们得到以下模型：
dy?ry(t) （2-2） dt y(0)?x 求解得出：y(t)?xert （2-3） 由公式（2-3）易知 ?? 当r?0时
t???limy(t)? x 当r?0时
0 当r?0时
可知此模型不符合鱼群的现实增长情况。
2.2 阻滞增长模型
分析鱼群增长到一定公斤后，增长会下降的主要原因：自然资源，环境条件等因素对鱼群的增长起着阻滞作用，并且随着鱼群的增加阻滞作用越大，即我们即将讨论的阻滞增长模型。
阻滞作用体现在鱼群增长率r的影响上，使得r随着鱼群公斤y的增加而下降。于是方程（2-2）写作
dy?r(y)y(t) （2-4） dty(0)?x
直接引入最大环境容纳量N,于是得(2-5)
dyy?ry(1?),y(0)?x dtNy)则体现了资源N方程（2-5）右端因子体现鱼群自身的增长趋势，因子(1?和环境对鱼群增长的阻滞作用，显然，y越大，前一因子越大，后一因子越小，鱼群增长是两个因子共同作用的结果。
dy如果以y为横轴，为纵轴，做出方程（2-5）的图形，如图1。可以分析
dtdy鱼群增长速度随着x的增加而变化的情况，从而大致看出y(t)的变化规律(代
dt码见附件)
方程（2-5）可以用分离变量法求得y(t)? x-rt1?(?1)e NN以t为横轴，y为纵轴，用数值拟合的方法，通过假定不同的x值以及假定
N?105，得出其图像如图2(代码见附件）
图1