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《三角函数教材分析》
北京市第一0一中学 方明
一、课标要求与说明（2017版）
三角函数的内容是幂函数、指数函数、对数函数之后又一种函数类型，2017版课标中要求如下：
三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习,可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题。
内容包括:角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
(1)角与弧度
了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性(参见案例3)。
(2)三角函数概念和性质
①借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值。（注：新教材侧重于先有性质再画图像）。借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式
(???2，???的正弦、余弦、正切)。
②借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2?]上,正切函数在(?质。
??,)上的性
22③结合具体实例,了解y?Asin(?x??)的实际意义；能借助图象理解参数
?,?,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响。
(3)同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式: sinx?cosx?1；tanx?22sinx。 cosx(4)三角恒等变换
①经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆)。 (5)三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型(参见案例4)。
案例3说明了引入弧度制的必要性，弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量
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统一了三角函数自变量和函数值的单位；进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性。
课标强调用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质，几何直观指单位圆的对称性和三角函数线；诱导公式中既蕴含代数运算法则，也蕴含着三角函数的性质。
关于三角函数的性质，新教材侧重于先研究性质再画图像，这种研究过程和幂函数、指数函数、对数函数一致，有利于学生系统分析函数。
二、课时安排建议
本章教学总课时21课时,具体安排如下
7.1任意角的概念与弧度制
7.1.1角的推广 2课时 7.1.2弧度制及其与角度制的换算 1课时 7.2任意角的三角函数
7.2.1三角函数的定义 1课时 7.2.2单位圆与三角函数线 1课时 7.2.3同角三角函数的基本关系式 2课时 7.2.4诱导公式 3课时 7.3三角函数的性质与图像（上一版教材“图像与性质”）
7.3.1正弦函数的性质与图像 2课时 7.3.2正弦型函数的性质与图像 3课时 7.3.3余弦函数的性质与图像 1课时 7.3.4正切函数的性质与图像 1课时 7.3.5已知三角函数值求角 1课时 7.4数学建模活动：周期现象的描述 1课时 本章小结 2课时
其中：角的推广增加1课时；三角函数的定义减少1课时；同角三角函数的基本关系式增加1课时，正弦与正弦型的性质与图像总共增加2课时；数学建模增加1课时，小结增加1课时，共增加5课时。 从内容和顺序上看，最大的调整是三角函数的性质与图像（上一版教材是三角函数的图像与性质），新教材强调先性质后图像；
三、教学内容地位、考纲分析
作为基本初等函数，三角函数能很好地刻画周期现象，先简要分析本章教学内容的地位，了解高考要求。 1、地位与价值
学生在学习了幂函数、指数函数和对数函数之后，对如何研究函数的性质和图像有了较为系统和整体的认识，是学生学习本章内容的基础。通过本章内容的学习，学生借助单位圆和三角函数线建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
学生能感受到化归思想、方程思想、数形结合的思想在三角函数学习中的应用，对于提
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高学生核心素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。从三角函数的起源与应用来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。
2、高考考试要求（供老师了解，不展开） 考试内容 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角 恒等 变换 解三角形 函数函数三角函数 任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角的正弦、余弦、正切的定义 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 诱导公式 同角三角函数的基本关系式 周期函数的定义、三角函数的周期性 要求层次 A √ √ B √ √ C √ √ √ √ y?sinx，y?cosx，y?tanx的图象和性质 y?Asin(?x??)的图象 √ √ √ √ √ √ √ 用三角函数解决一些简单的实际问题 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 简单的恒等变换 正弦定理、余弦定理 解三角形 这里，三角函数的定义、单位圆与三角函数线，三角函数的性质与图像都是C级要求。 3、高考常见题型，理解考查方向，避免套路化；
类型一：三角恒等变换、正弦型函数性质的研究；
2例1. （2018文16）已知函数f(x)?sinx?3sinxcosx.
(I) 求f(x)的最小正周期; (II) 若f(x)在区间[??3?m]上的最大值为
3, 求m的最小值. 2解答：(I) f(x)?113?1?cos2x?sin2x?sin(2x?)?. 22262所以f(x)的最小正周期为T?(II) 由(I)知f(x)?sin(2x?2???. 2?6)?1?. 由题意??x?m. 23 3 / 12
所以?5????2x??2m?. 666要使得f(x)在[?即sin(2x?所以2m??3?m]上的最大值为
3, 2?6)在[???3?m]上的最大值为1.
?6?2, 即m??3. 所以m的最小值为
?. 3
常见思想方法与策略：（化归的思想） 这类题型体现了三角变换的目标和意义。为什么要变形？因为条件中的函数表达式，
不容易得到自变量x的变化对函数值的影响；往哪个方向变形？高中阶段，熟悉的函数有幂、指、对、三角函数以及这些函数的复合函数，因此我们往往借助于变形（三角变换、换元法等），将复杂的形式转化为熟悉的函数结构，比如本题中的正弦型函数。具体子三角变换中，常见的变形方向有：统一次数（幂）；统一角；统一函数名。
类型二：解三角形
例2．（2019理15）在VABC中, a?3, b?c?2, cosB??(I) 求b, c的值; (II) 求sin(B?C)的值.
解答：(I) 由余弦定理b?a?c?2accosB, 得 b2?32?c2?2?3?c?(?).
因为b?c?2, 所以(c?2)2?32?c2?2?3?c?(?). 解得c?5. b?7.
2221. 21212(II) 由cosB??3c531得sinB?. 由正弦定理得sinC?sinB?.
2b142在VABC中, ?B是钝角, 所以?C为锐角. 所以cosC?1?sin2C?11. 1443. 7所以sin(B?C)?sinBcosC?cosBsinC?常见思想方法与策略：（方程的思想） 什么叫解三角形？
根据已知的几个元素，确定三角形其它元素的过程。 满足条件的三角形有多少个？ 得看已知元素的情况。
如果已知元素恰好是全等三角形的某个判定，则满足条件的三角形唯一； 否则，满足条件的三角形可能无解、唯一解、或多解。 为什么经常考查正弦定理和余弦定理？
因为这两个定理能实现边角互化，将条件往某一方向集中，有利于我们判断已知元
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