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2005级线性代数考试试题
院系_____________________；学号__________________；姓名___________________
一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵A???1 2??1 4??3 4??, B???1 2 3??4 5 6??, C???2 5?，则下列矩阵运算无意义的是 ???3 6??A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB 2.设n阶方阵A满足A2
–E =0，其中E是n阶单位矩阵，则必有【 】
A. A=A-1
B.A=-E C. A=E D.det(A)=1 3.设A为3阶方阵，且行列式det(A)=
12 ,则det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.1
4.设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中【 】
A.必存在一个行向量为零向量
B.必存在两个行向量，其对应分量成比例
C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合
5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】
A．a1?a2,a2?a3,a3?a1 B. a1,a2,2a1?3a2 C. a2,2a3,2a2?a3 D. a1,a2,a1?a3
6.向量组(I): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【 】
A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关
D.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1???kmam?0
7．设a为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0存在非零解的充分必要条件是
】
【 】【
A．A的行向量组线性相关 B. A的列向量组线性相关 C. A的行向量组线性无关 D. A的列向量组线性无关 8.设ai、bi均为非零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组?的基础解系含2个解向量，则必有 【 】
?a1x1?a2x2?a3x3?0
bx?bx?bx?033?1122a1 a2a1 a2a1 a3a1a2a3? A. D. ?0 B.?0 C. ??0
b1b2b3b2 b3b1 b2b1 b2
?2x1?x2?x3?1?9.方程组? x1?2x2?x3?1 有解的充分必要的条件是
? 3 x?3x?2x?a123?A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=2
【 】
10. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】
A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组 B. 与η1，η2，η3等秩的向量组 C.η1－η2，η2－η3，η3－η1 D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】
A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解
C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解
12.n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个 【 】
A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间Rn的子空间的是 【 】
A. {(a1,a2,?,an)|a1a2?0} B. {(a1,a2,?,an)|C. {(a1,a2,?,an)|ai?z,i?1,2,?,n} D. {(a1,a2,?,an3
n?a)|?an1i?i?1ii?0} ?1}
14. F的两个子空间V1={(x1,x2,x3)|2x1-x2+x3=0}, V2={(x1,x2,x3)|x1+x3=0}, 则子空间V1?V2的维数为【 】
A. 二维 B. 一维 C. 三维 D. 零维
15. 设Mn(R)是R上全体n阶矩阵的集合，定义?(A)?detA,A?Mn(R)，则?是Mn(R)到R的 【 】
A. 一一映射 B. 满射
C. 一一对应 D. 既不是满射又不是一一对应
15. 令??(x31,x2,x3)是R的任意向量，则下列映射中是R3的线性变换的是 【 】
A.
?(?)????,??0 B. ?(?)?(2x1?x2?x3,x2?x3,0)
C. p(?)?(x231,x2,x2) D. w(?)?(cosx1,cosx2,0) 17.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】
?1 0 0?A. ?1?1 2?0 1 1??0 1 -1? B. ??5?2 -1?
????C. ??1 -1?1??2 -2 1??0 1? D.
?3?2 1 -2???
?1 2 2?18.若2阶方阵A相似于矩阵B???1 0???2 -3??,E为2阶单位矩阵,则方阵E–A必相似于矩阵【 A. ??1 0?0?1 4? B. ???-1 ??0 0?0?? 1 -4? C. D. ?-1 ???-2 4????-2 -4?
?
19.二次型f(x21,x2,x3)?x1?2x1x2?2x2x3的秩等于【 】
A．0 B.1 C.2 D.3
?1 0 0?20.若矩阵A???0 2 a?正定,则实数a的取值范围是【 】 ??0 a 8???A．a< 8 B. a＞4 C．a＜-4 D．-4 ＜a＜4
二、填空题（每小题2分，共20分）。 21．设矩阵A???1 -1 3??2 0 1??,B???2 0??0 1?,? 记AT为A的转置，则ATB= 。 22．设矩阵A???1 2??3 5??则行列式det(AAT)的值为 . 4 3 8 23．行列式 9 5 1的值为 . 2 7 6 】
24．若向量组a1?(1, 2, 3 ), a2?(4, t, 6), a3?( 0, 0, 1 )线性相关，则常数t= . 25.向量组（1，2），（3，4）， （4，6）的秩为 .
? x1?x2?x3?0 26.齐次线性方程组? 的基础解系所含解向量的个数为
2x?x?3x?023?1 27.已知x1?(1, 0, 2)、x2?(3, 4, 5)是3元非齐次线性方程组Ax?b的两个解向量，则对应齐次线性方程Ax?0有一个非零解?= .
TT2 3??1 ??的全部特征值为 。
4 528.矩阵A?0 ????0 0 -6??29．设λ是3阶实对称矩阵A的一个一重特征值，ξ1?( 1, 1, 3 )、ξ2?( 4, a, 12 )是A的属于特征值λ的特征向量，则实常数a= .
2230.f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?2x2?4x1x3的相伴矩阵A=
TT
三、计算题（每小题8分，共40分）
0 3 4 531．计算行列式
-3 4 1 0 0 2 2 -2 6 -2 7 2的值。
1 -4 -3?? ?1 -5 -3? 求 A-1。
32．设A ???6 4??-1 ?x1?2x2?x3?x4?0? ?33．求方程组? 3x1?6x2?x3?7x4?0的基础解系与通解。
?2x?4x?2x?2x?0234?1
x1?2x2?3? ?34．a取何值时，方程组?4x1?7x2?x3?10有解？在有解时求出方程组的通解。
? x2?x3?a?
35．设向量组a1,a2,a3线性无关。试证明：向量组?1?a1?a2?a3,?2?a1?a2,?3?a3线性无关。