发布时间 : 星期四 文章两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习.docx更新完毕开始阅读3601a8bba517866fb84ae45c3b3567ec102ddcaa
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
【知识要点】
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1) S(Q±0): sin(a±0) = sinacos0土cosacos0 ； (2) C(\0): cos(a ± 0) = cos a cos 0 干 sin a sin 0 ；
tan a ± tan 0 ⑶乙±0): tan(a±0) = 1 + tan a tan 0
2. 二倍角的正弦.余弦、正切公式 (1) 片幺)：sin2o = 2sinacosa a ；
(2) C3): cos2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 a-\\ = 1-2sin2 a ；
⑶
: 2a =
tan
2 tan a 1 - tan2 6K
3. 常用的公式变形 (1) tan a 土 tan (3 = tan(a ± /?)(! + tan a tan 0)；
⑵ cos2 a = 1 + COs2Qr,sin2 a =「心次；
2 2
(3) 1+sin 26r = (sin a+cos 6Z)2,1 - sin 2a = (sin a - cos a)2 ,sina±cosa = 42sin(a±—).
4
4.函数/(x) = <7sinx+/>cosx(a,b 为常数)，可以化为 f (x) = yja2 +b2 sin(x +(p) = ^la2 +b2 cos(x-0),
其 中0(&)可由a,b的值唯一确定. 两个技巧
.…①拆角亠拼饬技巧丄…②化磯技也…切.化弦二二O勺-代携签.… 考向一三角函数式的化简与求值
化简的方法：眩切互化，异名化同名，异角化同和；降幕或升幕等.
cos 15° - sin ［例1］求值：① 15°
cos 15° + sin
②抽50°(1 + 的510。)；③2coE-sin2(T cos 20 1. (1)己知sina = -,aE (—,/r),则 - 皿\--------- 练习:
5 2
V2sin(6^ + -)
cos 卡，则 tan(f + 2a)=( C. -- D?-7
4
(2)已知Q为锐角,
A. -3
2.已知 Z0w (0,-),sin6T = -,tan(6Z一0)= -丄,求cos0 的值.
2 5 3
考向二 三角函数的求角问题
已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值
(要 求该三角函数应在角的范帼内严格单调)；(3)求出角. ［例 2］已知 cosa =丄,cos(a-0)=吕，且0 V0VQV 彳,求 0.
练习：已知 tan(a -/?) = —, tan /? = -—,且 a,0w (0,兀)，a, P e (o,兀),求 2a- 0 的值.
考向三 三角函数公式的逆用与变形应用
二倍角公式的升幕降幕及tana±tan0=tan(a±0)(l^tanQtan0), tanatan\不詈洪驚等 ［例3］已知函数/(x) = 2cos2--V3sinx.⑴求函数/(兀)的最小正周期和值域；
(2)若a为第二象限角，且= 求 ----------------- 叱兰 ------ 的值.
3 3 l + cos2a — sin2a
TT 1
(1)己知 sin(G + ￡) + cosa = ￥^,则 sin(a +彳)的值为( )
练习：1?
B.2 C.Q 5
2
3兀 (2)若 a + /3 = — .则(1 — tan ”)(1 — tan 0)的值是
4 (3) (1 + tan 22° )(1 + tan 23°)的值是 (4) tan 20° + tan 40° + V3 tan 20° tan 40°
⑸ Vl-sin8 + j2 + 2cos8 的值是 考向四角的变换
三角函数的角的变换问题解决的关键在于把“所求角”用“己知角”表示.如 山_0=?-臥p,
2a=(a+/3)+?-/3),加=(/?+Q_(0—0,耐0=2?^^,
厂斤/八sincr + cos<7 小 z 门、 宀 … ‘门 宀、 ［例 4］⑴若 ---------- =3, tan(a -〃)= 2,则 tan(0 - 2a)
p\\
a
2)
sin a-cos a
(2)i2知sin《+a)=3，则cos(寸一2ct)的值等于 ____
1 a
练习：1.设 tan（6Z + 0） = —, tan（0 ——）=—,则 tan（6r + —）
5 4 4 4
考向五辅助角公式的应用
osinx + bcosx =如 +夕sin(x + &)(其中&角所在的彖限由a, b的符号确定，0角的值由 tan^ = -确定)在求最值、化简时起着重要作用。
a
【例 5］求函数 f（x） = 5sinxcosx- 5yji cos2 x + —VJfxG 7?）的单调递增区间.
练习：(1)如果/(x) = sin(x + 0)+ 2cos(x + 0)是奇函数,则 tan(p =_；
(2)若方程sinx-V3cosx = c^实数解，贝ijc的取值范围是 _____________ .
考向六三角函数的综合应用
【例6］已知函数f{x) =2cosxsin(x+*)—gsin'x+sinxcosx. (1)求函数fO)的最小正周期;
(2)求函数fd)的最大值及最小值；(3)写出函数fd)的单调递增区间； (4) 证明/U)在-y,誇上递增.
jr
练习：已知函数/(x) = 2cos2x + sinx.⑴求/(◎的值；⑵求/⑴ 的最人值和最小值.
2
【巩固练习】
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2.己知 a 满足 sina = — ,那么 sin(— + a) sin(— -a)=(
I
1 1 1 A. - B.—— C. - D.——
4 4 2 3. 已知 sin(a+亍)+ sin a = -
1 2 4^3
,—— 2 cos 10° - sin 20° 加80° sin 70° 5. 已知:0〈G二〈0〈龙,cos(0—)= 一.⑴求sin20 的值;(2)求cos(^z + —)的值. 4 5 6. 已知都是锐角，且cosa二一,cos(a + 0)二 ---------- ，求cos0的值. 1 7. 已知函数/(x) = V3 sin2 x + sinxcosx,xG [—,/)? ⑴求/(X)的零点；⑵求/(兀)的最大值和最小值. 8.----------------------------------------------- 己知 Qu (—,—),0G (0,—),cos( (X)= — ,sin( ------------------------------------------------- \\~0)=—,求sin(o + 0)的值. 4 4 4 4 5 4 13 9. 已知 tan(— + Q)二 2, tan 0 ①求如2*的值；②求sine + 0);2sizc豎的值