发布时间 : 星期日 文章「优质」2020年高中数学第二章平面解析几何初步2.3.2空间两点间的距离学案苏教版必修2-优质资料更新完毕开始阅读33ca73facc2f0066f5335a8102d276a2002960bb
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2．3.2 空间两点间的距离
1．了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．(重点) 2．会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 空间两点间的距离公式 阅读教材P120～P121，完成下列问题．
1．平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝
x2－x1
2
＋y2－y1
2
.特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝x＋y.
22
2．空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2＝
x2－x1
2
＋y2－y1
2
＋z2－z1
2
.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝
x2＋y2＋z2.
1．点P(－2，－1,1)到原点的距离为________． 【解析】 PO＝【答案】
6
－2
2
＋－1
2
＋1＝6.
2
2．点A(1,0,2)，B(－3,4,0)，则|AB|＝________. 【解析】 |AB|＝【答案】 6
3．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30，则该点的坐标为__________．
【解析】 设点P的坐标是(x,0,0)，由题意得，P0P＝30，即∴(x－4)＝25，解得x＝9或x＝－1.
∴点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． 【答案】 (9,0,0)或(－1,0,0) 教材整理2 空间两点的中点坐标公式
2
1＋3
2
＋0－4
2
＋2－0
2
＝36＝6.
x－4
2
＋1＋2＝30，
22
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阅读教材P122，完成下列问题．
连结空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为
?x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2?. ?222???
1．若O为原点，P点坐标为(2，－4，－6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为________． 2＋0－4＋0－6＋0
【解析】 设Q(x，y，z)，则x＝＝1，y＝＝－2，z＝＝－3，
222∴Q(1，－2，－3)． 【答案】 (1，－2，－3)
2．如图2－3－10，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1
的交点，则M点的坐标是________．
图2－3－10
【解析】 ∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2， ∴O(0,0,0)，B1(2,3,2)． 又∵M为OB1的中点，
?3?∴M?1，，1?.
?2??3?【答案】 ?1，，1? ?2?
[小组合作型]
空间中两点间距离的计算
如图2－3－11，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，
点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．
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图2－3－11
【精彩点拨】 解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．
【自主解答】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)． 由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，
????所以M?，，?，O′?，，a?.
?222??22?
因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故
aaaaa?a3a?N?，，a?，根据空间两点距离公式，可得 ?4
4
?
MN＝
?a－a?2＋?a－3a?2＋?a－a?2＝6a. ?24??24??2?4??????
利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤： (1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标； (2)代入空间两点间的距离公式求值．
[再练一题]
1．已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)． (1)求△ABC中最短边的边长； (2)求AC边上中线的长度．
【解】 (1)由空间两点间距离公式得
AB＝BC＝
1－22－3
2
＋＋
5－33－1
2
＋2－4＋4－5
2
＝3， ＝6，
222
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AC＝1－3
2
＋5－1
2
＋2－5
2
＝29，
∴△ABC中最短边是BC，其长度为6.
7??(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为?2，3，?. 2??∴AC边上中线的长度为
2－2
2
＋3－3
2
?7?21
＋?4－?＝. ?2?2
[探究共研型]
空间两点间距离公式的应用
探究1 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是什么？
【提示】 设M(0，a,0)，由已知得MA＝MB，即1＋a＋2＝1＋－3－a解得a＝－1，故M(0，－1,0)．
探究2 方程(x－1)＋(y－2)＋(z－3)＝25的几何意义是什么？ 【提示】 依题意
2
2
2
2
2
2
2
2
＋1，
2
x－1
2
＋y－2
2
＋z－3
2
＝5，点(x，y，z)是空间中到点
(1,2,3)距离等于5的点，即以点(1,2,3)为球心，以5为半径的球面．
已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，
并求此时的AB的长度．
【精彩点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．
【自主解答】 1－x2
由空间两点间的距离公式得
2
2
AB＝
＋[x＋2－5－x]＋[2－x－2x－1]＝14x－32x＋19＝
2
?8?25
14?x－?＋， ?7?7
8
当x＝时 ，AB有最小值
7
535＝， 77
?8279??226?此时A?，，?，B?1，，?. 77??777??
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．
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