发布时间 : 星期六 文章2019 - 2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义学案新人教B版选修1 - 1更新完毕开始阅读3254ad4fdc3383c4bb4cf7ec4afe04a1b171b049
3.1.3 导数的几何意义
1.了解割线的斜率与平均变化率的关系. 2.理解导数的几何意义. 3.会
求曲线的切线方程.
[学生用书P48]
1.割线的斜率
已知y=f(x)图象上两点A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)),过A、B两点割线的Δyf(x0+Δx)-f(x0)斜率是=,即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.
ΔxΔx2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,即k=f′(x0)=lim__Δx→0
f(x0+Δx)-f(x0).
Δx
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.( ) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).( ) (3)f′(x0) (4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 2.已知曲线y=f(x)=2x上一点A(2,8),则点A处的切线斜率为( ) A.4 C.8 答案:C 3.若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是-1,那么曲线y= B.16 D.2 2 f(x)在点A处的切线方程是________. 答案:x+y-3=0 4.已知函数f(x)=x+2,则f′(2)=________. (2+Δx)+2-2-2 解析:f′(2)=lim Δx→0Δx(2+Δx-2)[(2+Δx)+(2+Δx)·2+2] =lim Δx→0Δx2 2 3 3 3 =lim [4+4Δx+(Δx)+4+2Δx+4] Δx→0 2 =lim [12+6Δx+(Δx)]=12. Δx→0 2 答案:12 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程[学生用书P48] 138 如图,已知曲线y=x上一点P(2,). 33 求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 13 【解】 (1)因为y=f(x)=x, 3所以当x0=2时,y′=lim Δx→0 Δy Δx1133 (2+Δx)-×233 =lim Δx→0Δx13×2Δx+3×2(Δx)+(Δx)=lim 3Δx→0Δx122=lim[3×2+3×2Δx+(Δx)] 3Δx→0=2=4. 所以f′(2)=4,即点P处的切线的斜率为4. 8 (2)在点P处的切线方程是y-=4(x-2), 3即12x-3y-16=0. 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤 (1)求出函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),得到切线的斜率k=f′(x0). (2)①根据直线的点斜式方程,得到切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). ②如果切线平行于y轴,则切线方程为x=x0. 2 2 2 3 2 求曲线y=f(x)=在点(-2,-1)处的切线方程. x2 解:因为y=, x22 -x+Δxxf(x+Δx)-f(x) 所以y′=lim =lim Δx→0Δx→0ΔxΔx-2·Δxx(x+Δx)2 =lim =-2, Δx→0Δxx因此曲线f(x)在点(-2,-1)处的切线的斜率 k=- 21 2=-. (-2)2 1 由点斜式可得切线方程为y+1=-(x+2), 2即x+2y+4=0. 求过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程[学生用书P49] 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x相切的直线方程. Δy2(x+Δx)-(x+Δx)-2x+x【解】 y′=lim =lim Δx→0ΔxΔx→0Δx=lim [2-3x-3xΔx-(Δx)]=2-3x. Δx→0 2 2 2 3 3 3 设切点坐标为(x0,2x0-x0), 则切线方程为y-2x0+x0=(2-3x0)(x-x0). 又切线过点(-1,-2), 所以-2-2x0+x0=(2-3x0)(-1-x0), 332 即2x0+3x0=0,所以x0=0或x0=-. 2 3 23 2 3 ?33?所以切点坐标为(0,0)或?-,?. ?28? ?33?当切点坐标为(0,0)时,切线斜率为2,切线方程为y=2x;当切点坐标为?-,?时,?28? 1919 切线斜率为-,切线方程为y+2=-(x+1),即19x+4y+27=0. 44 综上可知,过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x相切的直线方程为y=2x或19x+4y+27=0. 求过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线 3 方程的步骤 (1)设切点为A(xA,f(xA)),求切线的斜率k=f′(xA),写出切线方程. (2)把P(x0,y0)的坐标代入切线方程,建立关于xA的方程,解得xA的值,进而求出切线方程. 1 求过点A(2,0)且与曲线y=相切的直线方程. x解:易知点(2,0)不在曲线上,故设切点为P(x0,y0),由 11 - x0+Δxx01 y′|x=x0=Δlim =-2, x→0Δxx0 1 得所求直线方程为y-y0=-2(x-x0). x0 由点(2,0)在直线上,得x0y0=2-x0,再由P(x0,y0)在曲线上,得x0y0=1,联立可解得x0=1,y0=1, 所求直线方程为x+y-2=0. 求切点坐标[学生用书P49] 4 在曲线y=f(x)=2上求一点P,使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件. 2 x(1)倾斜角为135°; (2)平行于直线y=x+1. 【解】 设点P的坐标为(x0,y0),则 444x0-4(x0+Δx)-8x0Δx-4(Δx) Δy=-=, 22=22 (x0+Δx)x0x2x20(x0+Δx)0(x0+Δx)Δy-8x0-4ΔxΔy8x08所以=2=-4=-3, 2,所以lim Δx→0ΔxΔxx0(x0+Δx)x0x08即f′(x0)=-3. 2 2 2 x0 (1)因为切线的倾斜角为135°, 所以f′(x0)=tan 135°=-1, 8 所以-3=-1,所以x0=2,则y0=1,即P(2,1). x0 8 (2)因为切线与直线y=x+1平行,所以由导数的几何意义知f′(x0)=1,即-3=1, x0 所以x0=-2,则y0=1,即P(-2,1). 在本例条件下,求切线垂直于直线2x-16y+1=0的切点P的坐标. 2??解:设P(x0,y0),因为切线与直线2x-16y+1=0垂直,所以有f′(x0)·?-?=?-16?