发布时间 : 星期一 文章第3章 第3讲 三角函数的图象与性质更新完毕开始阅读2f4a702980eb6294dc886c57
第三章 第三讲
A组 基础巩固
一、选择题 1．函数y＝ππ
A．[－，] 66
ππ
C．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
66[答案] C [解析] ∵cosx－
33ππ
≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 2266cosx－
3
的定义域为导学号 25400765( ) 2
ππ
B．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
66D．R
2．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是导学号 25400766( )
π
A．y＝cos(2x＋)
2C．y＝sin2x＋cos2x [答案] A
π
[解析] 采用验证法．由y＝cos(2x＋)＝－sin2x，可知该函数的最小正周期为π且为奇
2函数，故选A．
π
3．(2015·石家庄一模)函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间是导学号 25400767( )
3kππkπ5π
A．[－，＋](k∈Z)
212212π2π
C．(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)
63[答案] B
πππkππkπ5π
[解析] 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝
232212212πkππkπ5π
tan(2x－)的单调递增区间为(－，＋)(k∈Z)，故选B．
3212212
π4．(2015·沈阳质检)已知曲线f(x)＝sin2x＋3cos2x关于点(x0,0)成中心对称，若x0∈[0，]，
2则x0＝导学号 25400768( )
π
A．
12π
C．
3
π
B．
65πD． 12
kππkπ5π
B．(－，＋)(k∈Z)
212212π5π
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
1212π
B．y＝sin(2x＋) 2D．y＝sinx＋cosx
[答案] C
ππ
[解析] 由题意可知f(x)＝2sin(2x＋)，其对称中心为(x0,0)，故2x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0
33πkπππ
＝－＋(k∈Z)，又x0∈[0，]，∴k＝1，x0＝，故选C．
6223
5．函数y＝cos2x＋sin2x，x∈R的值域是导学号 25400769( ) A．[0,1] C．[－1,2] [答案] A
1－cos2x[解析] y＝cos2x＋sin2x＝cos2x＋ 2＝
1＋cos2x
.∵cos2x∈[－1,1]，∴y∈[0,1]． 2
1
B．[，1]
2D．[0,2]
π
6．(2015·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(2x－)(x∈R)，下列结论错误的是
2导学号 25400770( )
A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)的最小正周期为π π
C．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
2π
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
4[答案] D
π
[解析] f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确，
2kππ
函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误，答
24案为D．
二、填空题
π
7．函数y＝tan(2x＋)的图象与x轴交点的坐标是________.导学号 25400771
4kππ
[答案] (－，0)，k∈Z
28
πkππ
[解析] 由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．
428
πkππ
∴函数y＝tan(2x＋)的图象与x轴交点的坐标是(－，0)，k∈Z.
428π
8．函数y＝cos(－2x)的单调减区间为________.导学号 25400772
4
π5π
[答案] [kπ＋，kπ＋](k∈Z)
88ππ
[解析] 由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)得
44π
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
4π5π
故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
88
π5π
所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
88
ππ
9．设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)
24成立，则|x1－x2|的最小值为________.导学号 25400773
[答案] 2
ππ2
[解析] f(x)＝3sin(x＋)的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和
24πT
最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.
2
10．(2015·天津)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.导学号 25400774
[答案]
π
2
π
[解析] f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，因为函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，
4ππππ
所以f(ω)＝2sin(ω2＋)＝±2，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝＋kπ，k∈Z，又函数
4424πππππf(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋≤，即ω2≤，取k＝0，得ω2＝，所以ω＝. 42442
三、解答题
11．(2015·安徽)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.导学号 25400775 (1)求f(x)的最小正周期；
π
(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．
2[答案] (1)π (2)2＋1,0
π
[解析] (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)＋
41，
2π
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
2π
(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋1.
4πππ5π
当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，
2444π5π
由正弦函数y＝sinx在[，]上的图象知，
44πππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值2＋1；
428π5ππ
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
442
π
综上，f(x)在[0，]上的最大值为2＋1，最小值为0.
2
π
12．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin(－x)sinx－3cos2x.导学号 25400776
2(1)求f(x)的最小正周期和最大值； π2π
(2)讨论f(x)在[，]上的单调性．
63
2－3π5π5π2π
[答案] (1)π， (2)增区间[，]，减区间[，] 2612123
π313
[解析] (1)f(x)＝sin(－x)sinx－3cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－
22222－33π3＝sin(2x－)－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. 2322
π2ππ
(2)当x∈[，]时，0≤2x－≤π，从而
633πππ5π
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
32612ππ5π2π
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． 23123
π5π5π2π
综上可知，f(x)在[，]上单调递增；在[，]上单调递减．
612123
B组 能力提升
ππ2π
1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜)在区间[，]上是单调减函数，且函数值从
263π
1减少到－1，则f()＝导学号 25400777( )
4
1
A．
2C．
3 2
B．
2
2
D．1