发布时间 : 星期一 文章2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案更新完毕开始阅读2ef94fabfac75fbfc77da26925c52cc58ad6907b
连接BC′，则C′B＝A′B＋A′C′＝在△BDC′中，由余弦定理得
22
23
＝BE， 3
BD2＋C′D2－C′B21
cos∠BDC′＝＝，
2BD·C′D3
在△C′DE中，过点A′作C′E的垂线，交C′D于点F，
12
则∠FA′B就是二面角B－EC′－D的平面角．易得A′F＝A′C′tan 30°＝，C′F＝，DF331
＝C′D－C′F＝.
3
连接BF，在△BDF中，由余弦定理得
BF＝BD2＋DF2－2BD·DFcos∠BDF＝
则在△BA′F中，由余弦定理得
22
， 3
A′B2＋A′F2－BF21
cos∠BA′F＝＝，
2A′B·A′F3
1
即二面角B－EC′－D的余弦值为，故选A.
3
→→
13.如图，已知三棱锥A—BCD的所有棱长均相等，点E满足DE＝3EC，点P在棱AC上运动，设EP与平面BCD所成的角为θ，则sin θ的最大值为________．
答案
22
3
解析 因为三棱锥A—BCD的所有棱长都相等，设底面BCD的中心为O，则O为顶点A在底面的射影，以点O为原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且垂直于CD的直线为
y轴，直线OA为z轴建立
26??
空间直角坐标系．设三棱锥A—BCD的棱长为2，则易得O(0，0,0)，A?0，0，?，
3??
25
C??1，33，0???，E??1??2，33，0???
， 则→OA＝?
??
0，0，26?3??，
A→E＝??1
326?→?326??2
，3
，－3??，AC＝??
1，3
，－3??
，
设→AP＝λ→
AC(0≤λ≤1)， 则→PE＝→AE－→AP＝→AE－λ→AC
＝??1?2－λ，326?
3?1－λ?，3?λ－1???
，
则sin θ＝|→PE·→
OA|461－λ|→＝·PE||→OA|316λ2
－28λ＋13，2
设f(x)＝?1－x?
16x2－28x＋13 (0≤x≤1)，
则f′(x)＝2?2x－1??x－1?
?16x2－28x＋13?2，
令f′(x)>0，得0 2 ， 所以函数f(x)在??1?0，2??? 上单调递增； 令f′(x)<0，得1 2 所以函数f(x)在??1?2，1???上单调递减， 所以f(x)max＝f ??1?2???＝1 12 ， 所以sin θ的最大值为46 ×123 12＝23 . 26