发布时间 : 星期六 文章2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案更新完毕开始阅读2ef94fabfac75fbfc77da26925c52cc58ad6907b
又∠PBE＝∠PAB＝α，∴β<γ<α，故选C.
4．已知四边形ABCD，AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝2，现将△ABD沿BD折起，使二面角A－π5π??BD－C的大小在?，?内，则直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是( )
6??6
?52?
A.?0，?
8??
C.?0，B.?0，D.?
?
?2?? 8?
??2??52??∪?，1? 8??8??252?
，?
8??8
答案 A
解析 设BD的中点为E，连接AE，CE， 因为AB＝BD＝DA＝2，BC＝CD＝2， 所以AE＝3，CE＝1，且AE⊥BD，CE⊥BD， 则∠AEC为二面角A－BD－C的平面角，
在平面ABD内，过点A作AF∥BD，使AF＝BD，构造平行四边形ABDF，连接FD，CF，则∠CDF或其补角即为异面直线AB与CD的夹角， 则在△AEC中，由余弦定理得
AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC
＝4－23cos∠AEC，
?π5π?又因为∠AEC∈?，?，
6??6
所以AC＝4－23cos∠AEC∈[1,7]．
因为AE⊥BD，CE⊥BD，且AE∩CE＝E，AE，CE?平面AEC， 所以BD⊥平面AEC， 则BD⊥AC，所以AF⊥AC，
则在Rt△CAF中，CF＝AC＋AF∈[5,11]，
2
2
2
2
?DF＋CD－CF?则在△CDF中，由余弦定理易得直线AB与CD的夹角的余弦值为|cos∠CDF|＝???2DF·CD??52?∈?0，?，故选A.
8??
5．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则cosα＋cosβ＋cosγ＝________. 答案 2
解析 设长方形的长、宽、高分别为a，b，c，则对角线长d＝a＋b＋c，
2
2
2
2
2
2
222
?b2＋c2?2?a2＋c2?2?a2＋b2?22(a＋b＋c)所以cosα＋cosβ＋cosγ＝?＝2. ?＋??＋??＝
d2?d??d??d?
2
2
2
2
2
2
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6.如图所示，在正方体AC1中， AB＝2, A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________.
答案
6
6
π
解析 由题意可知，α＝，则cos(α－β)＝sin β，
2
以点D为坐标原点，DA，DC，DD1方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
E(1，1，2)，
→
DE＝(1，1，2)，平面BCC1B1的法向量DC＝(0，2，0)，
→→
|DE·DC|6
由此可得cos(α－β)＝sin β＝＝.
→→6|DE||DC|
7.(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)如图，平行四边形PDCE垂直于梯形ABCD所在的1
平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，∠PDC＝120°，F为PA的中点，PD＝1，AB＝AD＝CD＝1.
2
→
(1)求证：AC∥平面DEF；
(2)求直线BC与平面PAD所成角的余弦值．
(1)证明 连接PC.
设PC与DE的交点为M，连接FM，因为F，M分别为PA，PC的中点，则FM∥AC. 因为FM?平面DEF，AC?平面DEF，所以AC∥平面DEF.
(2)解 方法一 (几何法)取CD的中点G，连接AG，则AG∥BC，
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所以直线AG与平面PAD所成的角即为直线BC与平面PAD所成的角． 过点G作GH⊥PD，交PD于点H，
又平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD， 所以AD⊥平面PDCE，
又GH?平面PDCE，所以AD⊥GH， 因为PD∩AD＝D，PD，AD?平面PAD，
所以GH⊥平面PAD，则∠GAH即为所求的线面角， 易得GH＝
3
，AG＝BC＝2， 2
则sin∠GAH＝＝
GHAG6， 4
10. 4
所以直线BC与平面PAD所成角的余弦值为
1
方法二 (向量法)过点D在平面PDCE中作DQ⊥PE，交PE于点Q，由已知可得PQ＝，
2
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DQ所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，13??
如图所示．由题意可得D(0,0,0)，P?0，－，?，A(1,0,0)，
22??
B(1,1,0)，C(0,2,0)，
13?→→?
则DA＝(1,0,0)，DP＝?0，－，?，
22??设平面PAD的法向量n＝(x，y，z)， →??n·DA＝0，
则?
→??n·DP＝0，
x＝0，??
即?13
－y＋z＝0，?2?2
令y＝3，
得平面PAD一个法向量n＝(0，3，1)，
19
→
BC＝(－1,1,0)．
设直线BC与平面PAD所成的角为θ，
?n·→BC?→??＝3＝6， 则sin θ＝|cos〈n，BC〉|＝
?|n||→?BC|?224?
所以直线BC与平面PAD所成角的余弦值为
10
. 4
8．(2018·浙江省杭州二中月考)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝CD＝BC＝2，AD＝5，M，N是
AD上的点，且AM＝DN＝2，现将△ABM，△CDN分别沿BM，CN折起，使得A，D重合记作S.
(1)求证：BC∥平面SMN；
(2)求直线SN与底面BCNM所成角的余弦值．
(1)证明 ∵BC∥MN，且MN?平面SMN，BC?平面SMN，∴BC∥平面SMN.
(2)解 过S向底面作垂线，垂足为O，连接BC的中点Q与MN的中点P，根据对称性可知O在PQ上，分别连接SQ，SP，ON，则∠SNO是所求的线面角．
在△SPQ中，SP＝则sin∠SNO＝
157235，SQ＝3，PQ＝，则SO＝， 227
3514，∴cos∠SNO＝. 77
9．(2018·湖州、衢州、丽水质检)已知矩形ABCD满足AB＝2，BC＝2，△PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求证：PC⊥BD；
(2)设直线l过点C且l⊥平面ABCD，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD
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