发布时间 : 星期六 文章2020高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案更新完毕开始阅读2ef94fabfac75fbfc77da26925c52cc58ad6907b
逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0，2π)， 则B(cos θ，sin θ，0)，
→→
∴AB＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB|＝2. 设直线AB与a所成的角为α，
→|AB·a|22??
则cos α＝＝|sin θ|∈?0，?，
→22??|a||AB|∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误； 设直线AB与b所成的角为β， →|AB·b|2
则cos β＝＝|cos θ|.
→2|b||AB|
当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时， |sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝∴|cos θ|＝
2， 2
221，∴cos β＝|cos θ|＝. 222
∵45°≤β≤90°，∴β＝60°， 即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确，①错误．
2．(2017·浙江改编)如图，已知正四面体D—ABC(所有棱长均相等的三棱锥)，P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP＝PB，＝
BQCR＝2，分别记二面角D—PR—Q，D—PQ—R，D—QR—PQCRA的平面角为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为________．
答案 α<γ<β
解析 如图①，作出点D在底面ABC上的射影O，过点O分别作PR，PQ，QR的垂线OE，OF，
OG，连接DE，DF，DG，则α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO.
由图可知，它们的对边都是DO， ∴只需比较EO，FO，GO的大小即可．
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如图②，在AB边上取点P′，使AP′＝2P′B，连接OQ，OR，则O为△QRP′的中心． 设点O到△QRP′三边的距离为a，则OG＝a，
OF＝OQ·sin∠OQF
∴OF <， tan βtan γtan αOD< ODOD∴α<γ<β. 3．(2018·浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°， A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)证明：AB1⊥平面A1B1C1； (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 方法一 (1)证明 由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝22， 所以A1B1＋AB1＝AA1， 故AB1⊥A1B1. 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC， 得B1C1＝5. 由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝23. 由CC1⊥AC，得AC1＝13， 所以AB1＋B1C1＝AC1， 故AB1⊥B1C1. 又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1?平面A1B1C1， 因此AB1⊥平面A1B1C1. 2 2 2 2 2 2 10 (2)解 如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD. 由AB1⊥平面A1B1C1， 得平面A1B1C1⊥平面ABB1. 由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D?平面A1B1C1，得C1D⊥平面ABB1. 所以∠C1AD即是直线AC1与平面ABB1所成的角． 由B1C1＝5，A1B1＝22，A1C1＝21， 得cos∠C1A1B1＝所以C1D＝3， 故sin∠C1AD＝ 427，sin∠C1A1B1＝， 77 C1D39＝. AC113 39. 13 因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是 方法二 (1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 由题意知各点坐标如下： A(0，－3，0)，B(1,0,0)，A1(0，－3，4)，B1(1,0,2)，C1(0，3，1)． →→→ 因此AB1＝(1，3，2)，A1B1＝(1，3，－2)，A1C1＝(0,23，－3)． →→ 由AB1·A1B1＝0，得AB1⊥A1B1. →→ 由AB1·A1C1＝0，得AB1⊥A1C1. 又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A1B1C1， 所以AB1⊥平面A1B1C1. 11 (2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ. 由(1)可知 AC1＝(0,23，1)，AB＝(1，3，0)，BB1＝(0,0,2)． 设平面ABB1的一个法向量为n＝(x，y，z)． →??n·AB＝0， 由? →??n·BB1＝0， →→→ ?x＋3y＝0， 得? ?2z＝0， 可取n＝(－3，1,0)． → |AC1·n|39 所以sin θ＝|cos〈AC1，n〉|＝＝. →13|AC1||n| → 因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是押题预测 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别为线段AB， 39. 13 SD的中点． (1)证明：EF∥平面SBC； (2)设SA＝AD＝2AB，试求直线EF与平面SCD所成角的正弦值． 押题依据 定义法求直线与平面所成的角的关键是利用直线与平面所成角的定义去构造一个直角三角形，通过解三角形的知识求角．方法一求解第(2)问的关键是构造三角形，证明∠AFE为直线EF与平面SCD所成角的余角． (1)证明 方法一 如图，过点E作EG∥SB，交SA于点G，连接GF. 因为E为AB的中点，所以G为SA的中点， 又F为SD的中点， 所以GF∥AD， 所以GF∥BC，又BC?平面SBC，GF?平面SBC， 12