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第一章 逻辑思维与数学文化
（3）数学是直觉
这种数学定义的代表人物： 荷兰数学家布劳威尔（L·E·J·Brouwer 1881～1966）。其代表性名言：“上帝创造了自然数，其他的都是人造的” （德国数学家克罗内克）。
（4）数学是形式
这种数学定义的代表人物：德国数学家希尔伯特（David Hilbert 1862～1943）。
（5）数学是模式
英国数学家怀特海（A·N·Whitehead 1861～1947）: “数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。” “数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”
美国当代著名数学家斯蒂恩（L·Steen）：“数学是模式的科学。数学家们寻求存在于数量、空间、科学、计算机乃至想象之中的模式。??模式提示了别的模式，并常常导致了模式的模式。正是以这种方式数学遵循着自身的逻辑：以源于科学的模式为出发点，并通过补充所有的由先前的模式导出的模式使这种图像更加完备。”
（6）数学是结构
这种定义的法国布尔巴基（Bourbaki）学派认为：数学是研究结构的科学。 数学的三种母结构：代数结构、序结构、拓扑结构。
由它们构成的复合结构、多重结构、混合结构就形成了千恣百态的数学。 （7）数学是关系 （8）数学是语言
数学家C·戴尔曼：“数学也是一种语言，且是现存的结构与内容方面最完美的语言。??可以说，自然用这种语言讲话；造世主已用它说过话，而世界的保护者继续用它说话。”数学家J·N·Kapur:“宇宙就是哲学的全书。这本书向着人们的好奇心敞开着，但是谁如果不先掌握好写这本书所用的语言和文字，他就不用想读懂它。这个语言就是数学，这些文字就是三角形、圆和其他图形。”
美国科学基金会主任R·Colwell:“数学是决定性的相互交叉的学科，数学是取得全面进步的出发点。数学既是强有力的洞察工具，又是科学的共同语言。我们把它称为科学的‘世界语’。 ”
（9）数学是艺术
艺术分类的两种常见方法：
方法一：表演艺术（音乐、舞蹈）、造型艺术（绘画、雕塑）、语言艺术（文学）、综合艺术（戏剧、电影）
方法二：时间艺术（音乐）、空间艺术（绘画、雕塑）、 综合艺术（戏剧、电影）。
数学家罗素说：“数学，如果正确的看待它，不仅拥有真理，而且也具有至高的美。正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或者音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。” 怀特海：“作为人类精神的创造，只有音乐堪与数学比美。” 法国数学家庞卡莱：“一个名符其实的科学家，尤其是数学家，他在他的工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣与艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。”“首先，内行们从数学中得到乐趣，就像人们从绘画和音乐
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第一章 逻辑思维与数学文化
中得到的一样。他们欣赏数和形的精美的和谐，他们惊奇地看到，新的发现向他们展示了意外的前景并因而给他们带来欢乐。尽管美学并未介入，但这难道没有美学特征吗？只有少数几个有特权的人可以说欣赏了它的全部美，但在最高尚的艺术中不也正是如此吗？” 英国数学家哈代：“如果数学有什么存在权利的话，那就是只是作为艺术而存在。”“我们的活动与艺术家的活动有许多共同之处：画家进行色彩与形态的组合，音乐家把乐音组合起来，诗人组词，而我们这是把一定类型的概念组合起来。”
美国数学家哈尔莫斯：“绘画来自物质现实，数学也是如此。??在绘画与数学中，美有客观标准。画家讲究线条、结构、造型、肌理、而史学家则讲究真实、正确、新奇、普遍。”数学“是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概念；数学是创造性的艺术，因为数学家象艺术家一样地生活，一样地工作，一样地思索；数学是创造性的艺术，因为数学家这样对待它。”
美国数学家、数学史家M·克莱因：“音乐能激发和抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上的一切。”他还认为：艺术、科学和哲学是支撑人类文明的三大篇章，数学则被视为这三大篇章的综合。
（10）数学是科学
中国古代六艺：礼、乐、射、御、书、数。
古希腊七艺：算术、几何、音乐、天文、文法、修辞、逻辑。 现代科学的分类：
四分法：数学科学、自然科学、哲学、社会科学。
五分法（于光远）：哲学、社会科学、自然科学、思维科学、数学。
八分法（钱学森）：自然科学、社会科学、数学科学、系统科学、思维科学、人体科学、军事科学、文学艺术理论科学。
三层次法（前苏联科学家茹科夫）：普遍科学：哲学、数学；总体科学：一般系统论、控制论；局部科学：物理、化学、生物等。
（11）数学是技术
1981年美国国家委员会成立一个专门委员会，经过三年观察分析，于1984年提出：“进一步繁荣美国数学的报告” 。其中指出：“高科技的出现把我们的社会推进到数学工程技术的时代。”专门委员会主席、应用数学家E·David指出：“很少有人认识到被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术。”“数学的思考方式具有根本的重要性。简言之，数学为组织和构造知识提供方法，以至当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的、并且是可以传播的知识。”
美国科学院院士J·G·Glimm:“数学对经济竞争力至为重要。数学是一种关键的、普遍适用的、并授予人以能力的技术。”“数学的重要性的非自明性，作为一种技术的数学科学的作用未被认识到，数学科学作为技术变化以及工业竞争的推动力的作用的极端重要性也未被认识到。”
我国数学家王梓坤：“时至今日，数学已兼有科学和技术两种品质，这是其他学科所难及的，不可不知。”
（12）数学是文化
我国数学家、原武汉大学校长齐民友在《数学与文化》一书中指出：“数学作为文化的一部分，其最根本的特征是它表达了一种探索精神。” “数学作为
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文化的一部分，其永恒的主题是‘认识宇宙，也认识人类自己’。在这个探索过程中，数学把理性思维的力量发挥得淋漓尽致，它提供了一种思维合理性的标准，给人类的思想解放打开了道路。” 齐民友通过对历史经济研究得到结论：“历史已经证明，而且将继续证明、一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的；一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。??没有现代的数学就不会有现代的文化，没有现代数学的文化是注定要衰落的。” 2、数学的特点
第一是抽象性，第二是精确性，第三是应用的广泛性。 （1）抽象性
从中学和大学数学的学习中我们已经体会到数学的抽象性了。直线、平面、空间都是抽象的概念， n 维空间以至无穷维空间更是抽象的概念。
不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的抽象；第三，数学本身几乎全在处理抽象概念和它们的相互关系。 （2）精确性
数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。 数学的精确性不同于物理、化学等其它大多数学科。汉克尔说：“在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，只有数学，每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。”举两个例子：
① 地心说→日心说→开普勒三定律
② 高温超导的上界（朱棣文）30o→90o→120oK （3）应用的广泛性
华罗庚（1910-1985）先生说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。例子：①哈雷彗星的发现；②海王星的发现；③电磁波的发现。 3、数学的语言及数学的应用 （1）数学的语言
自然语言是具体的语言，数学语言是形式化的语言。
中国人说汉语，美国人讲英语，或河南人说河南话，这些都是自然语言。数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言构成的科学语言。可以说，数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言。
当你写下a2?b2?c2，不同的民族虽然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种都能明白。20世纪70年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具代表性的物件，其中包括一件用黄金制作的体现勾股定理的图案。
数学语言有四个特点：明晰；严谨；简洁；规范。 （2）数学的应用
德国大数学家、号称“数学王子”的高斯有句名言：“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓，但许多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。”我理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学
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为其它科学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用。
高斯是数学家, 我们再看看一些非数学家的观点。德国哲学家康德曾经这样说道：“我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。”
无产阶级革命家马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”
在20世纪初相对论的创立过程中，数学就建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski,1864－1909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。
1912年夏爱因斯坦已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在一定的坐标变换下保持不变(即所谓协变)。爱因斯坦为此徘徊徬徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼（M. Grossman）介绍下学习掌握了意大利数学家勒维-奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出广义协变的引力方程
爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了, 而这个金顶依靠的恰恰是数学。
后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是爱因斯坦自己的话，是作为一个科学家的深切体会。
再说个简单的例子。上世纪80年代，美国华裔学者陈炳藻，使用数理统计学方法，探究了《红楼梦》前后用字的规律。发现《红楼梦》前八十回与后四十回所用的词汇正相关程度达到78.57%，由此推断得出前八十回与后四十回的作者均为曹雪芹一人的结论。中国数学家李贤平在美国威斯康星大学，运用计算机技术的模式识别法和统计学家使用的探索性数据分析法，又提出了一个《红楼梦》成书过程的观点：《红楼梦》各回所写内容具有不同的风格，各部分实际上是由不同作者在不同时期里完成的。 二、 “数学文化”与“数学素养”
从数学的公众形象谈起.大家可能已听说教育部在课程改革过程中做过的一项调查,这项调查涉及中学生对各门课程的态度.调查结果显示,中学生对数学课的态度概而言之是:又爱又恨,意思是又喜欢又讨厌,或者是有的喜欢,有的讨厌.中央电视台在配合2002年国际数学家大会而制作数学传播节目时所作的公众问答也反映,数学在大多数公众的心目中是一堆数字和公式,抽象、深奥甚至神秘,对数学的应用价值也不甚了解。
数学的这种公众形象从发展现代教育与科学的角度看是堪忧的.数学是一门基础学科,数学教育是基础教育.对于现代化社会而言,数学素质应该是公民所必须具备的一种基本素质.为了切实地将我国的教育提高到现代的先进的水准,使人们树立起正确的数学价值观,具有十分重要的意义.
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