发布时间 : 星期六 文章高考数学大一轮复习第六章数列6_2等差数列及其前n项和试题理北师大版更新完毕开始阅读2d60b860a1116c175f0e7cd184254b35effd1af6
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第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和试题 理 北师大版
1．等差数列的定义
从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母_d_表示． 2．等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N＋)构成等差数列． 5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
na1＋an2
或Sn＝na1＋nn－1
2
d.
d?d?Sn＝n2＋?a1－?n.
2
?2?
数列{an}是等差数列?Sn＝An＋Bn(A，B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 【知识拓展】
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)?{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N＋)?{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列． 【思考辨析】
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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ ) 1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( ) A．－1 B．0 C．1 D．6 答案 B
解析 由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.
2．(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( ) A．31 B．32 C．33 D．34 答案 B
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a＝，??3解得?4
d＝－??3，
1
??a1＋5d＝2，
解析 由已知可得?
?5a1＋10d＝30，?
8×7
∴S8＝8a1＋d＝32.
2
3．(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于( ) A．100 B．99 C．98 D．97 答案 C
9
解析 由等差数列性质，知S9＝差d＝
a1＋a9
29×2a5＝＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公
2
a10－a5
10－5
＝1，
∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.
4．(2016·江西玉山一中模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＋a4＋a5＝9，则S7等于( )
A．21 B．28 C．35 D．42 答案 A
解析 ∵a3＋a4＋a5＝9，∴a4＝3，
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∴S7＝7a4＝21，故选A.
5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大． 题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N＋有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
55A．2 B．10 C. D.
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(2)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________. 答案 (1)C (2)6
1
解析 (1)由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，
21
所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，
210×10－115
所以S10＝10×(－2)＋×＝.
222(2)∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0. 又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. 6×
∴S6＝6×6＋
6－1
×(－2)＝6. 2
思维升华 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
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(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知
a2＝3，a6＝11，则S7等于( )
A．13 C．49
B．35 D．63
2
(2)(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a2＝－3，S5＝10，则a9的值是________． 答案 (1)C (2)20
解析 (1)∵a1＋a7＝a2＋a6＝3＋11＝14， 7∴S7＝
a1＋a7
2
＝49.
(2)设等差数列{an}的公差为d，由题意可得
a1＋a1＋d＝－3，???5×45ad＝10，1＋?2?
2
??a1＝－4，
解得?
?d＝3，?
则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20. 题型二 等差数列的判定与证明
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例2 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)．
5an－1an－1(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为an＝2－
1
an－1
(n≥2，n∈N＋)，
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