发布时间 : 星期一 文章（完整word版）微积分（数学分析）练习题及答案doc更新完毕开始阅读2c7502815af5f61fb7360b4c2e3f5727a5e924b4
1. 试求极限解
2?xy?4.
(x,y)?(0,0)xylim2?xy?4xy?lim(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xy(2?xyxy?4)
11?lim?(x,y)?(0,0)2?xy?44lim2. 试求极限 解 由
(x,y)?(0,0) .
lim1?cos(x2?y2)(x?y)e22x2y2.
x2?y22sin1?cos(x2?y2)x2?y22lim?lim?x2y22222x2y2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)x?y2(x?y)ee4()2
1??0?02 . 113. 试求极限lim(x?y)sinsin.
(x,y)?(0,0)xy2解 由于
111111lim(x?y)sinsin?lim(xsinsin?ysinsin)(x,y)?(0,0)xy(x,y)?(0,0)xyxy ,
又 x?y,
所以
21111xsinsin?0limysinsin?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xyxy， , lim
所以
11lim(x?y)sinsin?0(x,y)?(0,0)xy .
xy24. 试讨论lim.
(x,y)?(0,0)x2?y4解 当点(x,y)沿直线y?x趋于原点时，
xy2x3lim2?lim2?0x?0x?y4x?0x?x4.
y?x?0
当点(x,y)沿抛物线线x?y趋于原点时，
2 x?y?0 .
因为二者不等，所以极限不存在.
xy2y41lim2?lim?y?0x?y4y?0y4?y4225
5. 试求极限解 由
(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?122.
(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)(1?x2?y2?1)?lim22x2?y21?x?y?1(x,y)?(0,0)x2?y2lim(1?x2?y2?1)?2 .
=(x,y)?(0,0)6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求 解 令v?x?y,w?xy,
则
?u?u,. ?x?y?u?f?v?f?w?f?f????y?x?v?x?w?x?v?w ?u?f?v?f?w?f?f????x?w ?y?v?y?w?y?vdzx7. z?arctanxy,y?e, 求.
dx解 由
dz1'?(y?xy)2dx1?(xy)
1ex(1?x)xx?(e?xe)?x222x1?(xe)1?xe.
8. 求抛物面 z?2x?y在点 M(1,1,3)处的切平面方程与法线方程。
解 由于
y x,
在M(1,1,3)处 zx(1,1,3)?4, zy(1,1,3)?2，
22z?4x,z?2y所以, 切平面方程为
4(x?1)?2(y?1)?z?3.
即 法线方程为
4x?2y?z?3?0
x?1y?1z?3??42?1. 229. 求f(x,y)?2x?xy?y?6x?3y?5在(1,?2)处的泰勒公式.
解 由
x0?1,
y0??2,f(1,?2)?5
fx(x,y)?4x?y?6,fy(x,y)??x?2y?3,fx(1,?2)?0 fy(1,?2)?0fxx(x,y)?4,fxy(x,y)??1,fyy(x,y)??2,fxx(1,?2)?4 fxy(1,?2)??1
.
fyy(1,?2)??26
得
f(x,y)?5?2(x?1)2?(x?1)(y?2)?(y?2)2.
10. 求函数f(x,y)?e(x?y?2y)的极值. 解 由于
2x2fx?2e2x(x?y2?2y)?e2x?e2x(2?x?y2?2y)?0
fy?2e2x(y?1)?0
解得驻点(?1,?1)，
fxx?2e2x(2?x?y2?2y)?e2x,fxy?e2x(2?2y),fyy?2e2x
A?fxx(?1,?1)?e?0,22B?fxy(?1,?1)?0,C?fyy(?1,?1)?2e?2
AC?B?2?0,A?0
?2所以 (?1,?1)是极小值点, 极小值为 f(?1,?1)??2e. 11. 叙述隐函数的定义.
答: 设X?R，函数F:X?Y?R. 对于方程F(x,y)?0, 若存在集合I?XY?R，与J?Y，使得对于任何x?I，恒有唯一确定的y?J，使得(x,y)满足方程F(x,y)?0 ,则称由方程F(x,y)?0确定了一个定义在I上，值域含于J的隐函数。一般可记为
y?f(x) x?I,y?J. 且成立恒等式
F(x,f(x))?0,x?I.
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若F(x,y)满足下列条件:
2（i）函数F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R上连续;
（ii）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在D内存在连续的偏导数Fy?x,y?; （iv）Fy?x0,y0??0,
则在点P0的某邻域U(P0)?D内，方程F?x,y?=0唯一地确定了一个定义在某区间
(x0??,x0??)内的函数（隐函数）y?f(x)，使得
1o f?x0??y0,x?(x0??,x0??)时(x,f(x))?U(P0)且F?x,f(x)??0；
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2° f?x?在(x0??,x0??)内连续. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 答: 若F(x,y)满足下列条件:
（i）函数F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D?R2上连续; （ii）F(x0,y0)?0（通常称为初始条件）; （iii）在D内存在连续的偏导数Fy?x,y?; （iv）Fy?x0,y0??0,
又设在D内还存在连续的偏导数Fx(x,y)，则由方程F(x,y)?0所确定的隐函数在
y?f(x)在其定义域(x0??,x0??)内有连续导函数，且
f'(x)??Fx(x,y).
Fy(x,y)14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设y?f(x)在x0的某邻域内有连续的导函数f'(x)，且f(x0)?y0; 考虑方程
F(x,y)?y?f(x)?0.
由于
F(x0,y0)?0, Fy?1, Fx(x0,y0)??f'(x0),
所以只要f'(x0)?0，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程F(x,y)?y?f(x)?0能确定出在y0的某邻域U(y0)内的连续可微隐函数x?g(y)，并称它为函数y?f(x)的反函数.反函数的导数是
g'(y)??33FyFx??11?.
?f'(x)f'(x)15. 解: 显然F(x,y)?x?y?3axy及Fx,Fy在平面上任一点都连续，由隐函数定理知
2道，在使得Fy?x,y??3y?ax?0的点?x,y?附近，方程x?y?3axy?0都能确定隐
33??函数y?f(x)；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于x的导数（其中y是x的函数）并以3除之，得
x2?y2y'?ay?axy'?0,
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