发布时间 : 星期日 文章2012-2017年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版更新完毕开始阅读27f41d1ccdc789eb172ded630b1c59eef9c79a7a
333、（2016年北京高考）设函数f?x??x?ax2?bx?c. （I）求曲线y?f?x?.在点?0,f?0??处的切线方程； （II）设a?b?4，若函数f?x?有三个不同零点，求c的取值范围； 解：（I）由f?x??xf??0??b3?ax2?bx?c，得f??x??3x2?2ax?b．因为f?0??c，， 3所以曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程为y?bx?c． （II）当a?b?4时，f?x??x令f??x??0，得3xf?x?2?4x2?4x?c，所以f??x??3x2?8x?4． ?8x?4?0，解得x??2或x??2． 3 2???2,???3??与f??x?在区间???,???上的情况如下： x ???,?2? ??2 ?23 ?2??,?????3?? f??x?f?x? 0c ?] 0c? Z3227Z所以，当c?0且c?32?0时，存在x???4,?2?，x2712????2,?2??3??， ?2?x3???,0??3?，使得f?x??f?x??f?x??0． 123332?0,由f?x?的单调性知，当且仅当c??函数f?x??x??时，27???4x2?4x?c有三个不同零点． 34、（2016年全国II卷高考） 已知函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1). （I）当a?4时，求曲线y?f(x)在?1,f(1)?处的切线方程； 第 13 页（共 17 页）
（Ⅱ）若当x??1,???时，f(x)＞0，求a的取值范围. 解析：（I）f(x)的定义域为(0,??).当a?4时， 1f(x)?(x?1)lnx?4(x?1),f?(x)?lnx??3，f?(1)??2,f(1)?0. x所以曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x?y?2?0. （II）当x?(1,??)时，f(x)?0等价于lnx?a(xx??11)?0. 令a(x?1)g(x)?lnx?x?1，则12ax2?2(1?a)x?1g?(x)???,g(1)?0x(x?1)2x(x?1)22， （i）当a?2，x?(1,??)时，x?2(1?a)x?1?x2?2x?1?0 ， ，由故g?(x)?0,g(x)在x?(1,??)上单调递增，因此g(x)?0； （ii）当a?2时，令g?(x)?0得x?a?1?1(a?1)2?1,x2?a?1?(a?1)2?12x2?1和xx12?1得x1?1，故当x?(1,x)时，g?(x)?0，g(x)在x?(1,x)单调2递减，因此g(x)?0.综上，a的取值范围是???,2?. 35．(2017·北京文，20)已知函数f(x)＝excos x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； π?(2)求函数f(x)在区间0，2??上的最大值和最小值． ?????4．解 (1)因为f(x)＝excos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cos x－sin x 第 14 页（共 17 页）
????－sin x－cos x)＝－2exsin x. ??π?π??0，当x∈0，2?时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间???上单调2???递减， π?所以对任意x∈0，2??有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0，所?????π??以函数f(x)在区间0，2?上单调递减， ??????π?π???因此f(x)在区间0，2?上的最大值为f(0)＝1，最小值为f?????2?????π＝－. 2131236．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝x－ax，a∈R. 32(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 6．解 (1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3， 因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0. 第 15 页（共 17 页）
(2016新课标1)已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2. 37、(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围. 解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分 (1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减； 在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。 …3分 (2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a). e①若a=?，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增。 2e②若a>?，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减； 2在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。 e③若a1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减； 2在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增。…7分 (Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求。 …8分 (2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增。 aa最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b