发布时间 : 星期一 文章2012-2017年高考文科数学真题汇编：导数及应用老师版更新完毕开始阅读27f41d1ccdc789eb172ded630b1c59eef9c79a7a
=+，不符合题意，应舍去． ，成立． 而③若a＞1时，f（1）=综上可得：a的取值范围是． 27.(2013新标2理) 已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 1【解析】(1)f(x)＝e－ln(x＋m)?f′(x)＝e－?x＋mxx1f′(0)＝e－＝0?m＝1，定义域为{x|x>－1}， 0＋m0xe?x＋1?－11xf′(x)＝e－＝，显然f(x)在(－1,0]上x＋mx＋1单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 28．（2013北京文）已知函数f(x)?x值。 （2）若曲线y?f(x)与直线y?b有两个不同的交点，求b的取值范围。 f'(x)?2x?xcosx?x(2?cosx)，【解析】（1）因为曲线y?f(x)在点(a,f(a))2?xsinx?cosx （1）若曲线y?f(x)在点(a,f(a))处与直线y?b相切，求a与b的处的切线为y?b 第 9 页（共 17 页）
f'(a)?0?2a?acosa?0?a?0所以?，即，解得 ???b?1f(a)?ba?asina?cosa?b??2?（2）因为2?cosx?0，所以当x?0时f'(x)?0，f(x)单调递增；当x?0时f'(x)?0，f(x)单调递减， 所以当x?0时，f(x)取得最小值f(0)?1， 所以b的取值范围是(1,??) ?k29．（2012山东）已知函数f(x)?lnxe=2.71828…(k为常数，ex是自然对数的底数)，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间； 【解析】(I)1?lnx?kxf?(x)?exk，由已知，f?(1)?1??0，∴k?1. e(II)由(I)知，k(x)1?lnx?1xf?(x)?ex11.设k(x)?1?lnx?1，则k?(x)????0，即xxx2在(0,??)上是减函数，由k(1)?0知，当0?x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0，当x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,??). 30.(2017·天津文，10)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为_____1___． 31.（2015年新课标2文）已知f?x??lnx?a?1?x?. 第 10 页（共 17 页）
（I）讨论f?x?的单调性；（II）当f?x?有最大值,且最大值大于2a?2时,求a的取值范围. 32.(2017·全国Ⅰ文，21)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围． 1．解 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)． ①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递 第 11 页（共 17 页）
????增． a?③若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln－2??. ??a???当x∈－∞，ln－2??时，f′(x)<0； ???????????????a??当x∈ln－2?，＋∞??时，f′(x)>0. ???????????a?a??????故f(x)在－∞，ln－2??上单调递减，在?ln?－2?，＋∞?上单??????????????调递增． (2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0. ②若a>0，则由(1)知，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a2ln a， 从而当且仅当－a2ln a≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0. a?③若a<0，则由(1)知，当x＝ln－2??时，f(x)取得最小值，??????????aa?3??????2最小值为f ln－2??＝a?4－ln?－2??，从而当且仅当?????????????????a3???－－lna4???≥0，即a≥－2e时f(x)≥0. 2????2???34综上，a的取值范围是[－2e，1]． 第 12 页（共 17 页）
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