发布时间 : 星期一 文章2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第四章 第6讲 第2课时 正、余弦定理的综合问题更新完毕开始阅读26e7f530f80f76c66137ee06eff9aef8941e48a4
求a的值.
π1
2x+?+1. 【解】 (1)由题意知,f(x)=cos2x+3sin xcos x+=sin?6??2πππππ
-+2kπ,+2kπ?,k∈Z,解得x∈?-+kπ,+kπ?,k∈Z, 令2x+∈?26??3?6?2ππ
-+kπ,+kπ?,k∈Z. 所以函数f(x)的递增区间为?6?3?π
2A+?+1=2, (2)因为f(A)=sin?6??π
2A+?=1. 所以sin?6??
ππ13ππππ
因为0<A<π,所以<2A+<,所以2A+=,即A=.
66662611
由△ABC的面积S=bcsin A=,得bc=2,
22
又b+c=22,所以a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc(1+cos A), 解得a=3-1.
标注条件,合理建模
解决三角函数的应用问题,无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题,关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注,然后根据条件和所求建立相应的数学模型,转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题.
△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2a-2ccos B.
(1)求角C的大小;
π
B+?的最大值,并求出取得最大值时角A,B的值. (2)求3cos A+sin??3?解:(1)法一:在△ABC中,由正弦定理可知sin B=2sin A-2sin Ccos B, 又A+B+C=π,
则sin A=sin(π-(B+C))=sin(B+C),于是有sin B=2sin(B+C)-2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-2sin Ccos B,
整理得sin B=2sin Bcos C,又sin B≠0, 1
则cos C=,
2π
因为0 3 a2+c2-b2 法二:由题可得b=2a-2c·, 2ac整理得a2+b2-c2=ab, 1 即cos C=, 2π 因为0 3 ππ (2)由(1)知C=,则B+=π-A, 33 ππ B+?=3cos A+sin(π-A)=3cos A+sin A=2sin?A+?, 于是3cos A+sin??3??3?2π2π 因为A=-B,所以0 33ππ 所以 33 πππ A+?的最大值为2,此时B=. 故当A=时,2sin??3?62 [基础题组练] 1.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=7,c=4,cos A=面积等于( ) A.37 C.9 解析:选B.因为cos A=37B. 29D. 2 73137,则sin A=,所以S△ABC=×bcsin A=,故选B. 4422 7 ,则△ABC的4 π 2.在△ABC中,已知C=,b=4,△ABC的面积为23,则c=( ) 3A.27 C.22 B.7 D.23 13 解析:选D.由S=absin C=2a×=23,解得a=2,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12, 22故c=23. 3.(2020·河南三市联考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,sin A∶sin B=1∶3,c=2cos C=3,则△ABC的周长为( ) A.3+33 C.3+23 B.23 D.3+3 解析:选C.因为sin A∶sin B=1∶3,所以b=3a, a2+b2-c2a2+(3a)2-c23 由余弦定理得cos C===, 2ab22a×3a 又c=3,所以a=3,b=3,所以△ABC的周长为3+23,故选C. 4.(2020·湖南师大附中4月模拟)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,c=5,△ABC的面积S= A.1 C.13 解析:选A.因为b=2,c=5,S=5 cos A,则a=( ) 2 B.5 D.17 511 cos A=bcsin A=5sin A,所以sin A=cos A. 222 1525 所以sin2A+cos2A=cos2A+cos2A=cos2A=1.易得cos A=. 445 25 所以a2=b2+c2-2bccos A=4+5-2×2×5×=9-8=1,所以a=1.故选A. 5 5.(2020·开封市定位考试)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为43,且2bcos A+a=2c,a+c=8,则其周长为( ) A.10 C.8+3 B.12 D.8+23 1 解析:选B.因为△ABC的面积为43,所以acsin B=43.因为2bcos A+a=2c,所以由正弦定理得 22sin Bcos A+sin A=2sin C,又A+B+C=π,所以2sin Bcos A+sin A=2sin Acos B+2cos Asin B,所以sin 1π A=2cos B·sin A,因为sin A≠0,所以cos B=,因为0<B<π,所以B=,所以ac=16,又a+c=8, 23所以a=c=4,所以△ABC为正三角形,所以△ABC的周长为3×4=12.故选B. π 6.在△ABC中,A=,b2sin C=42sin B,则△ABC的面积为 . 4解析:因为b2sin C=42sin B, 所以b2c=42b,所以bc=42, 112 S△ABC=bcsin A=×42×=2. 222答案:2 π 7.(2020·江西赣州五校协作体期中改编)在△ABC中,A=,b=4,a=23,则B= ,△ 3ABC的面积等于 . π4×sin3bsin Aπ 解析:△ABC中,由正弦定理得sin B===1.又B为三角形的内角,所以B=,所以 a223c=b2-a2=42-(23)2=2, 1 所以S△ABC=×2×23=23. 2 π 答案: 23 2 sin A5c78.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ sin B2b4 ABC= 57 ,则b的值为 . 4 sin A5ca5c5 解析:由=?=?a=c,① sin B2bb2b2 15771 由S△ABC=acsin B=且sin B=得ac=5,② 2442联立①,②得a=5,且c=2. 由sin B=73且B为锐角知cos B=, 44 3 由余弦定理知b2=25+4-2×5×2×=14,b=14. 4答案:14 3 9.在△ABC中,∠A=60°,c=a. 7(1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 3 解:(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a, 7csin A3333所以由正弦定理得sin C==×=. a72143 (2)因为a=7,所以c=×7=3. 7 1 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×, 2解得b=8或b=-5(舍). 113 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=63. 222 10.(2020·福建五校第二次联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且3acos C=(2b-3c)cos A. (1)求角A的大小; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值. 解:(1)由正弦定理可得,3sin Acos C=2sin Bcos A-3sin Ccos A, 从而3sin(A+C)=2sin Bcos A, 即3sin B=2sin Bcos A.