发布时间 : 星期三 文章(江苏专用)2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第41讲 简单的线性规划学案更新完毕开始阅读267ca7126e1aff00bed5b9f3f90f76c660374c66
将z＝2x－y化为y＝2x－z，平移直线y＝2x－z，当直线过点A时，z取得最大值，联立
??x＋3y＝4，?，解得A(1，1)，此时zmax＝2×1－1＝1，umax＝3. ?3x＋y＝4，?
考点四 线性规划的实际应用问题
【例4】 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y， 所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300. (2)约束条件为
5x＋7y＋4（100－x－y）≤600，??
?100－x－y≥0，
??x≥0，y≥0，x、y∈N.
x＋3y≤200，??
整理得?x＋y≤100，
??x≥0，y≥0，x、y∈N.
目标函数为ω＝2x＋3y＋300， 作出可行域，如图所示，
作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，
9
??x＋3y＝200，??x＝50，由?得? ?x＋y＝100，?y＝50.??
∴最优解为A(50，50)，此时ωmax＝550元.
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元. 规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤
(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.
(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.
(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解). (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值). (5)检验：根据结果，检验反馈.
一、必做题
1.若点(m，1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是________. 解析 由2m＋3－5>0，得m>1. 答案 (1，＋∞)
x≤3，??
2.(2017·北京卷)若x，y满足?x＋y≥2，则x＋2y的最大值为________.
??y≤x，
1z1z解析 画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－x＋.当直线y＝－x＋过C(3，3)时，z取得
2222最大值9.
答案 9
??y≥0，
3.直线2x＋y－10＝0与不等式组?表示的平面区域的公共点有________个.
x－y≥－2，??4x＋3y≤20
解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).
x≥0，
10
4
直线2x＋y－10＝0恰过点A(5，0)，且其斜率k＝－2 3面区域仅有一个公共点A(5，0). 答案 1 x－y≥0，??2x＋y≤2， 4.若不等式组?表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________. y≥0，??x＋y≤ax－y≥0，?? 解析 不等式组?2x＋y≤2，表示的平面区域如图(阴影部分)， ??y≥0 ?22?求A，B两点的坐标分别为?，?和(1，0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形， ?33? 4 则a的取值范围是0＜a≤1或a≥. 3 ?4?答案 (0，1]∪?，＋∞? ?3? x－y＋2≥0，?? 5.(2016·天津卷改编)设变量x，y满足约束条件?2x＋3y－6≥0，则目标函数z＝2x＋5y??3x＋2y－9≤0， 的最小值为________. 21 解析 由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y＝－x＋z，在图中画出直线y552 ＝－x， 5 11 平移该直线，易知经过点A时z最小. 又知点A的坐标为(3，0)， ∴zmin＝2×3＋5×0＝6. 答案 6 x－2y＋4≥0??22 6.(2016·江苏卷)已知实数x，y满足?2x＋y－2≥0，则x＋y的取值范围是________. ??3x－y－3≤0， 解析 已知不等式组所表示的平面区域如图： x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方. ??3x－y－3＝0， 解方程组?得A(2，3). ?x－2y＋4＝0，? ?|－2|?24 由图可知(x＋y)min＝?22?＝， ?2＋1?5 2 2 (x＋y)max＝|OA|＝2＋3＝13. 22222 ?4?答案 ?，13? ?5? x＋y≤1，?? 7.(2018·苏北三市质检)若实数x，y满足约束条件?3x－y≥0，则|3x－4y－10|的最大值 ??y≥0， 为________. 解析 作出实数x，y在约束条件下的平面区域(如图所示)，令z＝3x－4y－10， 则平移直线3x－4y＝0经过点A(1，0)时，zmax＝3－10＝－7；平移直线3x－4y＝0经过点 12