发布时间 : 星期一 文章（江苏专用）2019版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第41讲 简单的线性规划学案更新完毕开始阅读267ca7126e1aff00bed5b9f3f90f76c660374c66
第41讲 简单的线性规划
考试要求 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，二元一次不等式的几何意义(A级要求)；2.用平面区域表示二元一次不等式组(A级要求)；3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决(A级要求).
诊 断 自 测
1.(教材改编)已知点A(1，0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________.
解析 因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1，0)，B(－2，m)代入可得
x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.
?1?
答案 ?m|m>－?
2??
1
2
2.(教材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是________.
解析 不等式y≤2x＋1表示直线y＝2x＋1下方的平面区域及直线上的点，不等式x＋2y>4表示直线x＋2y＝4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是?示的平面区域.
??y≤2x＋1，答案 ?
?x＋2y>4?
?y≤2x＋1，?
??x＋2y>4
所表
2x＋3y－3≤0，??
3.(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件?2x－3y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是
??y＋3≥0，________.
解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y＝－2x＋z取到点(－6，－3)时，所求最小值为－15.
答案 －15
x≥1，??
4.(必修5P95习题11改编)若实数x，y满足不等式组?x－y＋1≤0，则z＝x2＋y2的最小值
??2x－y－2≤0，
是________.
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，z＝x＋y的最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线x－y＋1＝0与直线x＝1的交点(1，2)到原点的距离最近，故z＝x＋y的最小值为1＋2＝5.
2
2
2
22
2
答案 5
知 识 梳 理
1.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的
平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念
名称 约束条件 线性约束条件 意义 由变量x，y组成的不等式(组) 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
2
目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 欲求最大值或最小值的函数 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3.重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 4.判断区域方法
(1)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方. (2)最优解和可行解的关系：
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
x＋y－2≤0，??
【例1】 (1)(2015·重庆卷改编)若不等式组?x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且
??x－y＋2m≥0
4
其面积等于，则m的值为________.
3
x≥0，??4
(2)若不等式组?x＋3y≥4，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则
3
??3x＋y≤4k的值是________.
解析 (1)不等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA＝1＋m，B点纵坐标yB＝2m＋2
， 3
3
C点横坐标xC＝－2m，
112m＋2（m＋1）4
∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝×(2＋2m)×(1＋m)－×(2＋2m)×＝＝，
22333∴m＋1＝2或－2(舍)，∴m＝1. (2)不等式组表示的平面区域如图所示.
2
44?4?由于直线y＝kx＋过定点?0，?.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区33?3?域.
?15?因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点D?，?.
?22?
45k4?15?当y＝kx＋过点?，?时，＝＋， 3223?22?7
所以k＝. 37
答案 (1)1 (2)
3
规律方法 (1)求平面区域的面积：
①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；
②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.
4