发布时间 : 星期二 文章大物习题答案第3章 连续物体的运动更新完毕开始阅读265a1874fd0a79563d1e726c
习题3.12图
解 根据连续物体地转动惯量J?r2dm，可得均勺细棒对图示转轴产生的转动惯量大小
?为J??3l4l?4rdm??r223l4l?4m7dr?ml2。 l483.13均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，角速度变化是___________，角加速度变化是_________________。
习题3.13图
解 棒从水平位置由静止开始自由下落，，所受的合外力矩为重力矩，重力矩不断变小，角加速度不断变小，角速度不断变大。
3.14长为l、质量为M的均质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定轴转动，转动惯量为
Ml2，开始时杆竖直下垂，如图所示。现有一质量为m的子弹以水平速度υ0射入杆上A点，3并嵌在杆中. OA?2l， 3则子弹射入后瞬间杆的角速度?= 。
解 子弹射入杆瞬间前后子弹和杆组成的系统角动量守恒，有
习题3.14图
6?022?0??22?Ml2???m?(l)????m?(l)???，整理得。 ?2M33?3?l??(4?3)l3m3.15一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量。 解 在圆盘上以r和r?dr为半径作圆，所取得的质量元为
dm?m2mrdr ?2?r?dr?22?RR2mrdr212 ?r?mR2R2根据连续物体转动惯量的定义有
J??
R0题3.15图
3.16在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。 解 根据质点系的转动惯量J?以Ⅰ为轴转动惯量
2?1??3?J?2?m?a??2?m?a??m?2a??9ma2；
?2??2?22?rm有
2ii以Ⅱ为轴转动惯量
?3?2J?4m?a?3ma； ??2???以Ⅲ为轴转动惯量
习题3.16图
2J?2m?a??2m
2?3a?2?m?2a??12ma2。
23.17一半圆形细杆，半径为R，质量为m，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量。 解 半圆的长度为C = πR，质量的线密度为λ = m/C． 在半圆上取一弧元ds = Rdθ，其质量为dm = λds， 到AA`轴的距离为r = Rsinθ，绕此轴的转动惯量为dJ = r2dm = λR3sin2θdθ， 半圆绕AA`轴的转动惯量为
J??R3??0sin2?d?R A' 1(1?cos2?)d? 02?1??R3?mR222??R3??O 习题3.17图
A
3.18一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使
棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为中m和l分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度． 解（1）根据转动定律
棒所受的合外力矩为重力产生的力矩
12ml，其3 l O 60° M?J?
lllM?mg?sin150?mgcos60?mg
224习题3.18图
lmg3g所以 ??4 ?124lml3（2）棒转到水平位置时重力产生的力矩
llM?mg?sin90?mg
22lmg3g ??2?122lml3
3.19以初速度0将质量为m的质点以倾角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M； （2）质点的角动量L。
解（1）质点仅受重力作用F?mgj，质点在任意时刻的位矢为
yυ0υ??(?0sin?)2r??0cos?ti?j
2gM?r?F??mg?0cos?tk
（2）L?r?mυ?
zO习题3.19图
x?t0Mdt??mg?0cos?t2k 23.20如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 解 受力解如图，可建立方程：
mg?T?ma┄①
2TR?J?┄②
1a?R? ，J?mR2┄③
22mgMmg联立，解得：a?，T?，
M?2mM?2m?td?2mg2mgt考虑到a?，∴?d???。 dt，有：??00dtM?2mM?2m
或：
ROMm习题3.20图
MR22mgRsindt???mR? ?022t?或：
11J?2?mv2?mgh22
11h?at2?vt22
3.21设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度?成正比，比例系数为k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？
解（1）已知Mf??k?，而动力矩M?P通电时根据转动定律有：M?Mf?J??，
d? dt?tP(1?eJ)； k2k代入两边积分有：
?dt??0t0J?d?，可求得：??2P?k?（2）见上式，当t??时，电扇稳定转动时的转速：?稳定?P； k