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小学数学奥数基础教程(五年级)
本教程共30讲 本教程共30讲
最大最小
同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。
例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？
分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况： 15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。 例2比较下面两个乘积的大小：
a=57128463×87596512， b=57128460×87596515。
分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即
57128463+87596512=57128460+87596515。
因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。
例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？
分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为 长+宽=36÷2=18（米），
由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米2）。 例3说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。
例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况： 48=1×48，1+48=49； 48=2×24，2+24=26； 48=3×16，3+16=19； 48=4×12，4+12=16； 48=6×8，6+8=14。
两个因数之和最小的是6+8=14。
结论2两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
例5要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？
解：将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。由结论2，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）。
答：围墙最少长34米。
例6把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 分析与解：假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。
如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。
如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。
由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。 由例6的分析得到：
结论3把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。 例7把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？
解：根据结论3，由49=3×15+2+2，所以最大的积是
练习18
1.试求和是91，乘积最大的两个自然数。最大的积是多少？
之和的最小值是多少？ 3.比较下面两个乘积的大小：
123456789×987654321， 123456788×987654322。
4.现计划用围墙围起一块面积为5544米2的长方形地面，为节省材料，要求围墙最短，那么这块长方形地的围墙有多少米长？ 5.把19分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的积最大？ 6.1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？
7.在数123456789101112…9899100中划去100个数字，剩下的数字组成一个新数，这个新数最大是多少？最小是多少？
练习18
1.45和46，最大积是2070。
3.123456789×987654321大。 4.298米。
提示：5544=23×32×7×11。因为5544的两个最接近的因数是23×32=72和7×ll=77，所以这块地长77米，宽72米。最短的围墙长是（77+72）×2=298（米）。
5.19=3+3+3+3+3+2+2。 6.8531和7642。
提示：高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数。 7.最大数是9999978596061…99100，
最小数是10000012340616263…99100。
解：要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个9，所以剩下的数如果左边保留6个9，那么必须划掉109-6=103（个）数码，不合要求。因此左边只能保留5个9，即保留1～49之中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码，然后在后面再划掉16个数码，尽量留下大数（见下图）：
所以最大数是9999978596061…99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉非0的90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量留下小数（见下图）：
所以最小数是100000123406162…99100。